Determine a derivada
f(x)=\frac{3 x^{2}+5 x}{5 x^{2}-3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • Pede: determinar a derivada da função \displaystyle f(x)=\frac{3x^{2}+5x}{5x^{2}-3}.\n
  • Informações relevantes: o numerador é \displaystyle 3x^{2}+5x e o denominador é \displaystyle 5x^{2}-3.\n
  • Observação útil para depois: a função não está definida quando \displaystyle 5x^{2}-3=0, isto é em x=\pm\sqrt{\tfrac{3}{5}}. (Isso também afeta onde a derivada existe.)

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar (explicação didática):\n
Quando temos uma função dada pelo quociente de duas funções, \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, a regra do quociente diz que a derivada é
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
O motivo intuitivo: pensar em \displaystyle f(x)=u(x)\cdot \big(v(x)\big)^{-1} e aplicar produto + cadeia; o resultado simplifica para a fórmula acima. Aqui u(x) é o numerador e v(x) o denominador; u'(x) e v'(x) são suas derivadas.

Passo 3

Identificar u(x) e v(x) e calcular suas derivadas:\n
  • Definir u(x)=3x^{2}+5x. Então derivando termo a termo, usando \dfrac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1} e \dfrac{d}{dx}(ax)=a:
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})+\frac{d}{dx}(5x)=3\cdot 2x + 5 = 6x+5.
  • Definir v(x)=5x^{2}-3. Derivando:
v'(x)=\frac{d}{dx}(5x^{2})+\frac{d}{dx}(-3)=5\cdot 2x + 0 = 10x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo u,u',v,v':\n
f'(x)=\frac{(6x+5)\,(5x^{2}-3) - (3x^{2}+5x)\,(10x)}{(5x^{2}-3)^{2}}.
Aqui é só substituir diretamente na fórmula da Passo 2: o numerador será a diferença indicada e o denominador o quadrado de v(x).

Passo 5

Fazer a expansão algébrica do numerador cuidadosamente (passo-a-passo):\n
Primeiro expandir (6x+5)(5x^{2}-3):
(6x+5)(5x^{2}-3)=6x\cdot5x^{2}+6x\cdot(-3)+5\cdot5x^{2}+5\cdot(-3).
Calcular cada termo:
6x\cdot5x^{2}=30x^{3},\qquad 6x\cdot(-3)=-18x,\qquad 5\cdot5x^{2}=25x^{2},\qquad 5\cdot(-3)=-15.
Somando:
(6x+5)(5x^{2}-3)=30x^{3}+25x^{2}-18x-15.
Agora expandir (3x^{2}+5x)(10x):
(3x^{2}+5x)(10x)=10x\cdot3x^{2}+10x\cdot5x=30x^{3}+50x^{2}.

Passo 6

Subtrair as duas expressões para obter o numerador final:\n
\text{numerador}=(30x^{3}+25x^{2}-18x-15) - (30x^{3}+50x^{2}).
Agora simplificar termo a termo:
30x^{3}-30x^{3}=0,\qquad 25x^{2}-50x^{2}=-25x^{2},
ficando
\text{numerador}=-25x^{2}-18x-15.
Podemos fatorar um sinal negativo comum:
\text{numerador}=-(25x^{2}+18x+15).
Não há fatoração simples com coeficientes inteiros para 25x^{2}+18x+15 (discriminante negativo), então deixamos assim.

Passo 7

Escrever a derivada simplificada e comentar sobre domínio:\n
Substituindo o numerador simplificado na expressão de f'(x) encontramos
f'(x)=\frac{-(25x^{2}+18x+15)}{(5x^{2}-3)^{2}}.
Observação sobre domínio: a derivada só está definida onde a função original está definida e onde o denominador do quociente na derivada não é zero. Aqui (5x^{2}-3)^{2}=0 quando 5x^{2}-3=0, ou seja em x=\pm\sqrt{\tfrac{3}{5}}. Portanto f'(x) existe para todo x real exceto x=\pm\sqrt{\tfrac{3}{5}}.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para praticar): calcular \displaystyle f'(1).\n
Substituir x=1 na fórmula da derivada:
\text{numerador} = -(25\cdot 1^{2}+18\cdot 1+15)=-(25+18+15)=-(58)= -58.
\text{denominador}=(5\cdot 1^{2}-3)^{2}=(5-3)^{2}=2^{2}=4.
Logo
f'(1)=\frac{-58}{4}=-\frac{29}{2}.
Isso serve como checagem numérica da expressão.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{-(25x^{2}+18x+15)}{(5x^{2}-3)^{2}}

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