Determine a derivada
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
- Pede: determinar a derivada da função
\n - Informações relevantes: o numerador é
e o denominador é .\n - Observação útil para depois: a função não está definida quando
, isto é em . (Isso também afeta onde a derivada existe.)
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar (explicação didática):\n
Quando temos uma função dada pelo quociente de duas funções, , a regra do quociente diz que a derivada é
Quando temos uma função dada pelo quociente de duas funções,
O motivo intuitivo: pensar em
e aplicar produto + cadeia; o resultado simplifica para a fórmula acima. Aqui
é o numerador e
o denominador;
e
são suas derivadas.
Passo 3
Identificar
e
e calcular suas derivadas:\n
- Definir
. Então derivando termo a termo, usando e :
- Definir
. Derivando:
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo
:\n
Aqui é só substituir diretamente na fórmula da Passo 2: o numerador será a diferença indicada e o denominador o quadrado de
.
Passo 5
Fazer a expansão algébrica do numerador cuidadosamente (passo-a-passo):\n
Primeiro expandir :
Primeiro expandir
Calcular cada termo:
Somando:
Agora expandir
:
Passo 6
Subtrair as duas expressões para obter o numerador final:\n
Agora simplificar termo a termo:
ficando
Podemos fatorar um sinal negativo comum:
Não há fatoração simples com coeficientes inteiros para
(discriminante negativo), então deixamos assim.
Passo 7
Escrever a derivada simplificada e comentar sobre domínio:\n
Substituindo o numerador simplificado na expressão de encontramos
Substituindo o numerador simplificado na expressão de
Observação sobre domínio: a derivada só está definida onde a função original está definida e onde o denominador do quociente na derivada não é zero. Aqui
quando
, ou seja em
. Portanto
existe para todo
real exceto
.
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para praticar): calcular
.\n
Substituir na fórmula da derivada:
Substituir
Logo
Isso serve como checagem numérica da expressão.