(2.5 pontos) Calcule a integral dupla \iint_{R} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d A, em que R é a região no primeiro quadrante, limita pela circunferência x^{2}+y^{2}=5 e pelos eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\iint_{R} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA,
onde R é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=5 e pelos eixos coordenados.
Informações dadas e objetivo claro:
A função a integrar é \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
A região R é o quarto do disco centrado na origem com raio \sqrt{5}, ou seja, todos os pontos com x\ge0, y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le5.
Objetivo: avaliar numericamente essa integral dupla sobre R.
Passo 2
Por que escolher uma mudança de coordenadas e qual? (explicação didática)
Quando a região é parte de um círculo centrado na origem e a integranda envolve \sqrt{x^{2}+y^{2}}, é muito conveniente usar coordenadas polares porque elas representam pontos por um raio r e um ângulo \theta, e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r fica bem simples.
As fórmulas de conversão para coordenadas polares são:x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
A área elementar dA em coordenadas polares não é dr\,d\theta direto: há o fator Jacobiano r. Ou seja,dA = r\,dr\,d\theta.Intuição rápida do Jacobiano: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot r\,d\theta.
Passo 3
Transformar a integranda e a região para polares (passo a passo e explicando cada peça)
Substituindo x = r\cos\theta e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r na integranda:\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta.Observação: o r cancela, por isso a dependência radial some da parte fracionária.
O elemento de área vira dA = r\,dr\,d\theta, então o integrando total (função \times Jacobiano) fica\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)dA = \cos\theta\cdot r\,dr\,d\theta = r\cos\theta\,dr\,d\theta.
Limites da região R: como R é o primeiro quadrante dentro do círculo de raio \sqrt{5},0\le r\le\sqrt{5},\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares e separar as integrais (explicando por que é possível)
A integral dupla passa a ser a integral iterada\iint_{R}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\sqrt{5}} r\cos\theta\,dr\,d\theta.
Note que a integranda é produto de uma função de r (isto é, r) e uma função de \theta (isto é, \cos\theta), então podemos integrar em r primeiro e depois em \theta.
Passo 5
Calcular a integral interna em r (mostrar contas passo a passo)
Calcular\int_{0}^{\sqrt{5}} r\,dr.
Antiderivada de r é \dfrac{1}{2}r^{2}. Avaliando nos limites:\int_{0}^{\sqrt{5}} r\,dr = \left.\frac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{\sqrt{5}} = \frac{1}{2}\bigl(\sqrt{5}\bigr)^{2} - 0 = \frac{1}{2}\cdot 5 = \frac{5}{2}.
Assim a integral completa se reduz a\int_{0}^{\pi/2} \cos\theta \left(\int_{0}^{\sqrt{5}} r\,dr\right) d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\cdot\frac{5}{2}\,d\theta = \frac{5}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta.
Passo 6
Calcular a integral em \theta e concluir (mostrar antiderivada e avaliação)
Antiderivada de \cos\theta é \sin\theta. Logo\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \left.\sin\theta\right|_{0}^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2}-\sin 0 = 1-0 = 1.
Multiplicando pelo fator \dfrac{5}{2} obtém-se o valor final:\frac{5}{2}\cdot 1 = \frac{5}{2}.
Passo 7
Checagem rápida e interpretação final (encorajamento curto)
Fazendo uma verificação de consistência: integrando uma função que é positiva no primeiro quadrante (aqui \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\cos\theta\ge0 para 0\le\theta\le\pi/2) sobre uma região de área finita, o resultado positivo \dfrac{5}{2} faz sentido.
Mandou bem em chegar até aqui — o truque principal foi ver que a estrutura radial e a fronteira circular pedem coordenadas polares.