Considere a expressão integral
.
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente, a expressão
pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
i)
.
ii)
.
b) Transformando a expressão
para coordenadas polares,
também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i)
.
ii)
.
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando
i)
ii)
b) Transformando a expressão
i)
ii)
Passo 1
Vou escrever com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede, pegando literalmente os símbolos fornecidos (uso TeX para todo o conteúdo matemático).
O enunciado dá a expressão
O que é pedido:
a) Reescrever como uma única integral dupla com a ordem
(ou seja, tomando
como variável independente), identificando os intervalos:
i) .
ii) (entre colchetes, os limites que dependem de
quando necessário).
a) Reescrever
i)
ii)
b) Transformar
para coordenadas polares e escrever como uma única integral dupla, indicando os intervalos:
i) .
ii) .
i)
ii)
Observações immediatas que peguei literalmente da expressão escrita:
- O ponto de junção entre as duas integrais é o número
, o qual aritmeticamente equivale a . - Na primeira integral o limite inferior de
é . - Na primeira integral os limites de
são . - Na segunda integral os limites de
são , que aparece higienicamente ambíguo (veja abaixo).
Passo 2
Vou analisar a consistência numérica dos limites fornecidos e apontar problemas que impedem prosseguir sem ambiguidade.
-
Numérico:
e . O primeiro bloco integra em de até . Isso significa que o limite inferior é maior que o limite superior. Em integrais escritas nessa forma normalmente espera-se que o limite inferior seja menor ou igual ao superior; quando não é, ou a expressão está invertida (o que mudaria o sinal), ou há um erro de digitação. Portanto há uma inconsistência clara entre os números dados. -
Dominio da raiz na primeira integral: para que
seja real precisamos ter
ou seja
. Isso mostra que os valores de
admissíveis para a primeira raiz são
ou
. Se a integral sobre
for de
até
(com
) então a ordem está invertida e a faixa de
indicada não contém pontos válidos para a expressão da raiz, salvo interpretação alternativa. Mais uma vez: inconsistente tal como está.
- Ambiguidade de notação na segunda raiz: o termo dentro da raiz aparece como
. Existem, pelo menos, duas interpretações possíveis:
- Interpretação A: foi intenção escrever
(ou seja ), que é uma expressão razoável — a raiz seria . - Interpretação B: foi intenção escrever
(um círculo de raio com limites ). - Interpretação C (literal):
, que dá — forma estranha e pouco usual para este tipo de problema.
Sem esclarecimento não dá para saber qual é a intenção. Cada interpretação dá regiões geométricas completamente diferentes.
Passo 3
Conclusão lógica: com os dados exatamente como apresentados não é possível reescrever
nas formas pedidas sem assumir correções. As duas inconsistências principais são:
- limites de integração em
com ordem numérica contraditória ( ); - expressão interna da segunda raiz ambígua (
não é claro se é , ou um erro tipográfico para ).
Por isso não há uma única resposta correta sem decidir qual correção adotar.
Passo 4
Mesmo não podendo dar a resposta final pedida para o enunciado tal e qual escrito, vou te ensinar o procedimento exato e passo a passo que eu aplicaria assim que essas inconsistências fossem resolvidas — assim, na prova, se o enunciado estiver correto você saberá exatamente o que fazer. Vou mostrar:
- Como trocar a ordem de integração (de
para ou vice-versa) de forma geral. - Como transformar uma integral dupla para coordenadas polares.
Esses são os conceitos que você precisa dominar para preencher os quadradinhos solicitados, quando as curvas que delimitam a região estiverem bem definidas.
Passo 5
Troca da ordem de integração (aula rápida, passo a passo):
- Passo A: Interprete cada integral iterada como a descrição de uma região
do plano. Por exemplo, para um termo , . - Passo B: Para escrever a mesma região como
você deve: - Encontrar
e como os valores mínimo e máximo de na região . - Para cada
fixo entre e , resolver as desigualdades que definem para e obter as funções e .
- Encontrar
- Dica prática: desenhe a região
no plano (mesmo rascunhando à mão). Identifique as curvas e os segmentos verticalmente limitantes . Trocar a ordem corresponde a “rodar” o ponto de vista: agora varia primeiro e para cada encontra-se o intervalo em .
Exemplo simples (para fixar): se
, então
varia entre
e
, e para cada
fixo o
vai de
a
. Assim
Passo 6
Coordenadas polares (aula rápida e prática):
- Transformação e jacobiano:
- Procedimento para uma região
: - Escrever as curvas de contorno em termos de
e . - Determinar o intervalo de
que “varre” a região (geralmente vai de um ângulo mínimo a um máximo). - Para cada
fixo, encontrar e resolvendo as equações das curvas em .
- Escrever as curvas de contorno em termos de
- Dica: se a região é simétrica em
(isto é, em torno do eixo ), muitas vezes dá para integrar em e multiplicar por , ou em polar integrar apenas num intervalo e multiplicar por 2 conforme simetria.
Exemplo didático: a região dentro do círculo
corresponde a
,
(ou qualquer intervalo equivalente de comprimento
). Se a região for só a metade superior do círculo, use
e
.
Passo 7
O que eu preciso que você verifique (sem eu te perguntar, mas para que você corrija mentalmente o enunciado):
- Confirme se o ponto médio
foi realmente a intenção (isso vale ). Talvez a intenção tenha sido ou — estas alternativas são muito mais comuns. - Confirme se a primeira integral tem mesmo
como limite de (ou se era ). - Esclareça a expressão exata dentro da segunda raiz: era
, ou , ou outra coisa?
Sem uma dessas correções não existe uma única resposta correta. Se quiser, posso assumir uma entre as interpretações plausíveis (por exemplo substituir
por
ou substituir
por
) e então fazer todo o procedimento e preencher os quadradinhos. Eu não vou adivinhar automaticamente qual é a intenção, mas se quiser que eu escolha uma interpretação razoável e execute a solução completa, eu faço — só preciso que você me autorize a tomar essa suposição.
Resposta
Não é possível determinar de forma única os limitantes pedidos porque a expressão fornecida contém inconsistências e/ ou erros de digitação: (i) o limite
é numérico maior que
, invertendo a ordem dos limites em
; (ii) a expressão dentro da segunda raiz,
, é ambígua (pode ser
,
ou um erro para
). Sem corrigir essas ambiguidades não há uma única reescrita em ordem
nem uma única formulação em coordenadas polares.