Seja
f(x, y)= \begin{cases}0, & x y \neq 0 \\\\ 1, & x y=0\end{cases}
a) Encontrar o limite de f quando ( x, y ) tende a ( 0,0 ) ao longo do caminho y=x;
b) Verificar que f não é contínua em ( 0,0 );
c) Calcular f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\begin{cases}0,&xy\neq 0,\\[4pt]1,&xy=0,\end{cases}
e pede três coisas:
  • (a) Calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) ao longo do caminho y=x.
  • (b) Verificar se f é contínua em (0,0).
  • (c) Calcular as derivadas parciais f_x(0,0) e f_y(0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Em qualquer ponto com x y\neq 0 (ou seja, fora dos eixos coordenados) vale f(x,y)=0.
  • Nos pontos em que x y=0 (ou seja, sobre os eixos x=0 ou y=0, incluindo a origem) vale f(x,y)=1.
  • Em particular f(0,0)=1.]

Passo 2

Resolver a parte (a): limite ao longo do caminho y=x.
Ao percorrer o caminho y=x temos, para x\neq 0,
x y = x\cdot x = x^{2}\neq 0,
logo, por definição da função,
f(x,x)=0\quad\text{para todo }x\neq 0.
Portanto os valores de f ao longo do caminho y=x (exceto no ponto exatamente na origem) são todos 0. Assim o limite ao aproximar (x,x) de (0,0) é
\lim_{x\to 0} f(x,x)=0.
Em palavras: seguindo y=x a função toma sempre o valor 0 (para x\neq0), então tende a 0 quando x\to 0.

Passo 3

Resolver a parte (b): verificar continuidade em (0,0).
Primeiro, lembrando a definição: f é contínua em (0,0) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Já vimos em

Passo 4

  • Pelo caminho y=x encontramos em

Passo 5

  • Pelo caminho y=0 (o eixo x) temos, para x\neq0, x y = x\cdot 0 = 0,então por definição f(x,0)=1. Assim \lim_{x\to 0} f(x,0)=1.
Como os limites ao longo de y=x e y=0 são diferentes ( 0 e 1), não existe limite único de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Consequentemente
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)\quad\text{não existe},ã
e, portanto, f não é contínua em (0,0) (pois f(0,0)=1 e não há limite que coincida com esse valor).

Passo 6

Resolver a parte (c): definição e cálculo de f_x(0,0).
Definição prática da derivada parcial em (0,0) em relação a x: manter y=0 fixo e variar x. Assim
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para todo h (incluindo h\neq 0) temos h\cdot 0=0, então f(h,0)=1. Também f(0,0)=1. Portanto o numerador é sempre
f(h,0)-f(0,0)=1-1=0,
e a expressão dentro do limite vale 0/h=0 para todo h\neq 0. Logo o limite é simplesmente 0. Concluímos que
f_x(0,0)=0.

Passo 7

Cálculo de f_y(0,0) e observação final.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y em (0,0) é
f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Para todo k tem 0\cdot k=0, logo f(0,k)=1 e novamente o numerador é 1-1=0. Assim a fração é 0 para k\neq0 e
f_y(0,0)=0.
Pequena observação didática e motivadora: temos aqui um exemplo útil — as derivadas parciais f_x(0,0) e f_y(0,0) existem e valem 0, mas isso não torna a função contínua (muito menos diferenciável) em (0,0). Em provas, cuidado: existência das derivadas parciais não implica continuidade nem diferenciabilidade.

Resposta

(a) \;0
(b) \;f não é contínua em (0,0)
(c) \;f_x(0,0)=0,\;f_y(0,0)=0

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