f(x, y)= \begin{cases}0, & x y \neq 0 \\\\ 1, & x y=0\end{cases}
a) Encontrar o limite de f quando ( x, y ) tende a ( 0,0 ) ao longo do caminho y=x;
b) Verificar que f não é contínua em ( 0,0 );
c) Calcular f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).
Para todo k tem 0\cdot k=0, logo f(0,k)=1 e novamente o numerador é 1-1=0. Assim a fração é 0 para k\neq0 e
f_y(0,0)=0.
Pequena observação didática e motivadora: temos aqui um exemplo útil — as derivadas parciais f_x(0,0) e f_y(0,0) existem e valem 0, mas isso não torna a função contínua (muito menos diferenciável) em (0,0). Em provas, cuidado: existência das derivadas parciais não implica continuidade nem diferenciabilidade.
Resposta
(a) \;0
(b) \;f não é contínua em (0,0)
(c) \;f_x(0,0)=0,\;f_y(0,0)=0