Seja S o sólido fechado que é delimitado pelas superficies
-x^{2}-y^{2}+z^{2}=20 \quad \text { e } \quad z=x^{2}+y^{2}
Monte as integrais triplas em coordenadas cartesianas, cilindricas e esféricas que permitem calcular o volume do sólido S.
A seguir, responda aos seguintes itens:
a) Em coordenadas cartesianas, basta uma única integral para calcular o volume de S.
Tomando z como variável totalmente dependente, y como variável parcialmente dependente e \boldsymbol{x} como variável independente, essa integral é:
V(S)=
Your last answer was interpreted as follows: \operatorname{int}(\operatorname{int}(\operatorname{int}(1, z,
\left.x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2, \operatorname{sqrt}\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2+20\right)\right), y,-\operatorname{sqrt}(5-(5), \operatorname{sqrt}(5))
This answer is invalid. You have a missing right bracket) in the expression: \operatorname{int}\left(\operatorname{int}\left(\operatorname{int}\left(1, z, x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2, \operatorname{sqrt}\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2+20\right)\right), y,-\operatorname{sqrt}(5-\right.\right. (5), sqrt(5)).
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta em cartesianas)
b) Em coordenadas cilíndricas, basta também uma única integral para calcular o volume de S.
Tomando z como variável totalmente dependente, r como variável parcialmente dependente e \theta como variável independente, essa integral é:
V(S)=

(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta em cilíndricas)
Agora, utilize o comando int(int(int(r, z, z1, z2), r, r1, r2), theta, a, b).
Após inserir o comando no campo de resposta, é necessário substituir:
21 pelo limitante inferior de z=z_{1}(r, \theta), \quad 22 pelo limitante superior de z=z_{2}(r, \theta).
r 1 pelo limitante inferior de r=r_{1}(\theta), \quad r 2 pelo limitante superior de r=r_{2}(\theta).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Superfícies que delimitam o sólido S: -x^{2}-y^{2}+z^{2}=20e z=x^{2}+y^{2}.
  • Pergunta principal: montar as integrais triplas que calculam o volume de S nas três coordenadas: cartesianas, cilíndricas e esféricas.
  • Pergunta (a) específica: em coordenadas cartesianas, apresentem a única integral (com z totalmente dependente, y parcialmente dependente e x independente) que dá V(S).
Informações úteis que vamos usar (resumo):
  • A projeção de S no plano xy será um disco (vamos encontrar o raio).
  • Nas coordenadas cilíndricas usaremos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z e o fator de escala (Jacobiando) dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Nas coordenadas esféricas usaremos x=\rho\sin\varphi\cos\theta, y=\rho\sin\varphi\sin\theta, z=\rho\cos\varphi e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Encontro da curva de interseção das superfícies (projeção no plano xy) — passo-chave para limites.
  • Substituo z=x^{2}+y^{2}=r^{2} (usei r^{2}=x^{2}+y^{2}) na primeira equação: -(r^{2}) + (r^{2})^{2} = 20.
  • Escrevendo u=r^{2} fica u^{2}-u-20=0.Essa é uma quadrática; calculo as raízes: u=\frac{1\pm\sqrt{1+80}}{2}=\frac{1\pm9}{2}.As soluções são u=5 e u=-4. Como u=r^{2}\ge0 seleciono u=5.
  • Portanto r^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{5}e o valor de z na interseção é z=r^{2}=5.
Conclusão importante para os limites: a projeção de S no plano xy é o disco
x^{2}+y^{2}\le 5.
No disco, ao fixar (x,y) com r^{2}=x^{2}+y^{2}\le5, o z varia de z_{\text{baixo}}=x^{2}+y^{2} até z_{\text{cima}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+20}.

Passo 3

Integral em coordenadas cartesianas — explicação detalhada dos limites.
  • Elemento de volume em cartesianas: dV=dz\,dy\,dx.
  • Projeção no plano xy: disco x^{2}+y^{2}\le 5. Para escrever uma única integral com x como variável independente e y parcialmente dependente:
    • x varia de -\sqrt{5} até \sqrt{5}.
    • Para cada x, y varia de -\sqrt{5-x^{2}} até +\sqrt{5-x^{2}}.
    • Para cada (x,y) o z varia de z=x^{2}+y^{2} até z=\sqrt{x^{2}+y^{2}+20}.
  • Assim, a integral tripla que dá o volume é: V(S)=\int_{x=-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}\int_{y=-\sqrt{5-x^{2}}}^{\sqrt{5-x^{2}}}\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+20}} dz\,dy\,dx.(Essa é a única integral tripla em cartesianas pedida no item (a).)

Passo 4

Integral em coordenadas cilíndricas — passo a passo e resultado.
  • Mudança: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z. Elemento de volume: dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
  • As superfícies em coordenadas cilíndricas:
    • z=x^{2}+y^{2} vira z=r^{2}.
    • -x^{2}-y^{2}+z^{2}=20 vira z^{2}-r^{2}=20, isto é z=\pm\sqrt{r^{2}+20}. A folha que interessa é a positiva z=+\sqrt{r^{2}+20} porque a interseção com o paraboloide ocorre em z=5>0.
  • A projeção no plano r,\theta é o disco 0\le r\le\sqrt{5}, 0\le\theta\le2\pi.
  • Para cada (r,\theta) com 0\le r\le\sqrt5, z varia de z=r^{2} até z=\sqrt{r^{2}+20}.
  • Portanto a integral cilíndrica única é V(S)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{5}}\int_{z=r^{2}}^{\sqrt{r^{2}+20}} r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Observação rápida (didática): o fator r vem do Jacobiano da transformação cartesiana (x,y)\mapsto(r,\theta). Na prática, ao integrar em cilíndricas, sempre multiplica-se por r.

Passo 5

Integral(s) em coordenadas esféricas — derivação e por que precisa separar em duas partes.
  • Em esféricas: x=\rho\sin\varphi\cos\theta, y=\rho\sin\varphi\sin\theta, z=\rho\cos\varphi.
  • Traduzindo as duas superfícies:
    1. Paraboloide z=x^{2}+y^{2} vira \rho\cos\varphi=\rho^{2}\sin^{2}\varphi.Para \rho>0 isso dá \rho=\frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi} \qquad\text{(paraboloide em esféricas).}éAtenção: essa expressão só faz sentido para \sin\varphi\ne0; no eixo ( \varphi=0) a condição corresponde a \rho\ge0 com r^{2}=0 e z=\rho.
    2. Outra superfície z^{2}-r^{2}=20 com r^{2}=x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi e z^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi vira \rho^{2}(\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi)=20,isto é \rho^{2}\cos(2\varphi)=20 \quad\Rightarrow\quad \rho=\sqrt{\frac{20}{\cos(2\varphi)}},válido quando \cos(2\varphi)>0. Quando \cos(2\varphi)\le0 essa desigualdade ao quadrar impõe condição distinta (ver abaixo).
  • Determino o ângulo de interseção \phi_{0} onde as duas superfícies se tocam (já encontramos em cilíndricas r^{2}=5,\\ z=5):
    no ponto de interseção \rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}=\sqrt{5+25}=\sqrt{30} e \cos\varphi=\dfrac{z}{\rho}=\dfrac{5}{\sqrt{30}}. Assim
    \phi_{0}=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{5}{\sqrt{30}}\right).
    Alternativamente, a mesma condição dá \cos(2\phi_{0})=\tfrac{2}{3}, então \phi_{0}=\tfrac{1}{2}\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2}{3}\right). Ambas expressões são equivalentes.
  • Análise dos limites em \varphi:
    • Para 0\le\varphi\le\phi_{0} vale \cos(2\varphi)>0 e a superfície dada por \rho=\sqrt{20/\cos(2\varphi)} é menor do que a dada pela paraboloide (a paraboloide daria \rho muito grande para \varphi perto de 0). Então, para 0\le\varphi\le\phi_{0} o limite superior em \rho é \rho=\sqrt{20/\cos(2\varphi)}.
    • Para \phi_{0}\le\varphi\le\pi/2 já temos \cos(2\varphi)\le\cos(2\phi_{0}) e a condição do paraboloide passa a ser a que impõe o limite superior: \rho=\dfrac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}. (Quando \cos(2\varphi)<0 a desigualdade que vem do segundo fator não restringe superiormente \rho, então o paraboloide faz isso.)
  • Portanto não é possível descrever o sólido por UM só bloco 0\le\varphi\le\pi/2 com um único limite radial simples; é preciso dividir em duas faixas em \varphi.
  • Elemento de volume em esféricas: dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Combinando tudo, o volume em esféricas é a soma de duas integrais:
    V(S)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\left(\int_{\varphi=0}^{\phi_{0}}\int_{\rho=0}^{\sqrt{\,20/\cos(2\varphi)\,}} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi \;+\; \int_{\varphi=\phi_{0}}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{\dfrac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\right)d\theta,
    onde \displaystyle \phi_{0}=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{5}{\sqrt{30}}\right)=\frac{1}{2}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{2}{3}\right).

Resposta

\boxed{\;V(S)=\int_{x=-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}\int_{y=-\sqrt{5-x^{2}}}^{\sqrt{5-x^{2}}}\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+20}} dz\,dy\,dx\;}
\boxed{\;V(S)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{5}}\int_{z=r^{2}}^{\sqrt{r^{2}+20}} r\,dz\,dr\,d\theta\;}
\boxed{\;V(S)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\Bigg(\int_{\varphi=0}^{\phi_{0}}\int_{\rho=0}^{\sqrt{20/\cos(2\varphi)}}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi +\int_{\varphi=\phi_{0}}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{\dfrac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\Bigg)d\theta,\;}
onde \displaystyle \phi_{0}=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{5}{\sqrt{30}}\right)=\frac{1}{2}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{2}{3}\right).

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