- Considere uma extensa parede plana de espessura
e condutividade térmica
. Não há acesso ao lado interno da parede em
, por isso, as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas. Entretanto, sabe-se que a superfície externa da parede em
, cuja a emissividade é
troca calor por convecção com ar ambiente em temperatura
, com coeficiente médio de transferência de calor
, bem como por radiação com as superfícies ao redor que se encontram a uma temperatura média
. Além disso a temperatura da superfície externa mede
. Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente:
b) Obtenha a relação para a temperatura na superfície externa da parede resolvendo a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes valores do enunciado e da figura):
- Espessura da parede:
. - Condutividade térmica:
. - Emissividade da superfície externa:
. - Temperatura do ar ambiente:
(atenção: se precisar em Kelvin). - Coeficiente convectivo médio:
. - Temperatura média das superfícies vizinhas:
. - Temperatura medida na superfície externa (em
): (isto é um dado medido).
O que a questão (parte b) pede: obter a relação para a temperatura na parede resolvendo a equação diferencial (isto é, encontrar o perfil de temperaturaem regime permanente, unidimensional, e relacionar a temperatura da superfície externa com a solução).
Passo 2
Escrever a equação diferencial governante: como o problema é unidimensional e permanente e não há geração interna de calor, a equação de condução reduz-se a
Explicação didática: essa equação vem do balanço de energia em regime estacionário sem fontes. Quando a segunda derivada é zero, a temperatura varia linearmente ao longo da parede — intuitivamente, sem geração e em regime estacionário, o fluxo é constante e, portanto, o gradiente de temperatura também é constante.
Passo 3
Integral da equação diferencial: integrar duas vezes para obter a solução geral.
Primeira integração:
Primeira integração:
onde
é constante (é a inclinação do perfil de temperatura).
Segunda integração:
Segunda integração:
onde
é outra constante de integração. Essas constantes serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 4
Relacionar a inclinação
com o fluxo de calor: usar a lei de Fourier para condução unidimensional:
onde
é o fluxo de calor por unidade de área (positivo no sentido do calor saindo do corpo). Como não há geração e o regime é permanente,
é constante ao longo da espessura. Portanto
é constante e igual a
.
Passo 5
Impor a condição de contorno na superfície externa
: sabemos a temperatura da superfície externa
. Usando a forma linear e a relação com
:
Aplicando
:
Substituindo de volta:
Interpretação prática: a temperatura em qualquer posição
difere da temperatura da face externa
por um termo proporcional ao fluxo
e à distância até a face externa
.
Passo 6
Expressar
pelo balanço na superfície externa: na face
o calor que sai por condução da parede é evacuado por convecção para o ar e por radiação para as superfícies vizinhas. Portanto a condição de fronteira de fluxo é
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann. Explicação: o primeiro termo é a lei de Newton do resfriamento (convecção) e o segundo é o termo radiativo que depende das quartas potências das temperaturas absolutas (Kelvin). Note que as temperaturas no termo radiativo devem estar em Kelvin.
Passo 7
Substituir
em
para obter a expressão final do perfil de temperatura exclusivamente em termos de
e dos parâmetros conhecidos:
Dessa forma a temperatura ao longo da parede está dada por uma reta cujo coeficiente angular é fixado pelo fluxo total na superfície externa, que por sua vez é dado pela soma convecção+radiação avaliadas em
.
Passo 8
Casos úteis derivados da expressão:
- Temperatura na face interna (
):
- Observação prática: se
não fosse medida e fosse incógnita, teria-se uma equação não linear (por causa do termo ) que precisaria ser resolvida numericamente para obter . Como no enunciado foi dado, a expressão acima fornece diretamente o perfil.