1. Considere uma extensa parede plana de espessura \mathrm{L}=0,4 \mathrm{~m} e condutividade térmica \mathrm{k}=8,4 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. Não há acesso ao lado interno da parede em \mathrm{x}=0, por isso, as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas. Entretanto, sabe-se que a superfície externa da parede em \mathrm{x}=\mathrm{L}, cuja a emissividade é \varepsilon=0,7 troca calor por convecção com ar ambiente em temperatura \mathrm{T}_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente médio de transferência de calor \mathrm{h}=14 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1}, bem como por radiação com as superfícies ao redor que se encontram a uma temperatura média \mathrm{T}_{\mathrm{viz}}=290 \mathrm{~K}. Além disso a temperatura da superfície externa mede \mathrm{T}_{2}=45^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente:
b) Obtenha a relação para a temperatura na superfície externa da parede resolvendo a equação diferencial.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes valores do enunciado e da figura):
  • Espessura da parede: L=0{,}4\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica: k=8{,}4\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Emissividade da superfície externa: \varepsilon=0{,}7.
  • Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=25{}^\circ\mathrm{C} (atenção: 25{}^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K} se precisar em Kelvin).
  • Coeficiente convectivo médio: h=14\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Temperatura média das superfícies vizinhas: T_{\mathrm{viz}}=290\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura medida na superfície externa (em x=L): T_{2}=45{}^\circ\mathrm{C} (isto é um dado medido).
    O que a questão (parte b) pede: obter a relação para a temperatura na parede resolvendo a equação diferencial (isto é, encontrar o perfil de temperatura T(x) em regime permanente, unidimensional, e relacionar a temperatura da superfície externa com a solução).

Passo 2

Escrever a equação diferencial governante: como o problema é unidimensional e permanente e não há geração interna de calor, a equação de condução reduz-se a
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0.
Explicação didática: essa equação vem do balanço de energia em regime estacionário sem fontes. Quando a segunda derivada é zero, a temperatura varia linearmente ao longo da parede — intuitivamente, sem geração e em regime estacionário, o fluxo é constante e, portanto, o gradiente de temperatura também é constante.

Passo 3

Integral da equação diferencial: integrar duas vezes para obter a solução geral.
Primeira integração:
\frac{dT}{dx}=A,
onde A é constante (é a inclinação do perfil de temperatura).
Segunda integração:
T(x)=A x + B,
onde B é outra constante de integração. Essas constantes serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Relacionar a inclinação A com o fluxo de calor: usar a lei de Fourier para condução unidimensional:
q''(x)=-k\frac{dT}{dx}=-k A,
onde q'' é o fluxo de calor por unidade de área (positivo no sentido do calor saindo do corpo). Como não há geração e o regime é permanente, q'' é constante ao longo da espessura. Portanto A é constante e igual a -q''/k.

Passo 5

Impor a condição de contorno na superfície externa x=L: sabemos a temperatura da superfície externa T(L)=T_{2}. Usando a forma linear e a relação com q'':
T(x)= -\frac{q''}{k}\,x + B.
Aplicando T(L)=T_{2}:
T_{2}=-\frac{q''}{k}\,L + B \quad\Rightarrow\quad B = T_{2} + \frac{q''}{k}\,L.
Substituindo de volta:
T(x)=T_{2}+\frac{q''}{k}\,(L-x).
Interpretação prática: a temperatura em qualquer posição x difere da temperatura da face externa T_{2} por um termo proporcional ao fluxo q'' e à distância até a face externa (L-x).

Passo 6

Expressar q'' pelo balanço na superfície externa: na face x=L o calor que sai por condução da parede é evacuado por convecção para o ar e por radiação para as superfícies vizinhas. Portanto a condição de fronteira de fluxo é
q'' = h\bigl(T_{2}-T_{\infty}\bigr) + \varepsilon\,\sigma\bigl(T_{2}^{4}-T_{\mathrm{viz}}^{4}\bigr),
onde \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-4} é a constante de Stefan–Boltzmann. Explicação: o primeiro termo é a lei de Newton do resfriamento (convecção) e o segundo é o termo radiativo que depende das quartas potências das temperaturas absolutas (Kelvin). Note que as temperaturas no termo radiativo devem estar em Kelvin.

Passo 7

Substituir q'' em T(x) para obter a expressão final do perfil de temperatura exclusivamente em termos de T_{2} e dos parâmetros conhecidos:
T(x)=T_{2}+\frac{1}{k}\Bigl[\,h\bigl(T_{2}-T_{\infty}\bigr)+\varepsilon\,\sigma\bigl(T_{2}^{4}-T_{\mathrm{viz}}^{4}\bigr)\Bigr]\,(L-x).
Dessa forma a temperatura ao longo da parede está dada por uma reta cujo coeficiente angular é fixado pelo fluxo total na superfície externa, que por sua vez é dado pela soma convecção+radiação avaliadas em T_{2}.

Passo 8

Casos úteis derivados da expressão:
  • Temperatura na face interna ( x=0):
T(0)=T_{2}+\frac{L}{k}\Bigl[\,h\bigl(T_{2}-T_{\infty}\bigr)+\varepsilon\,\sigma\bigl(T_{2}^{4}-T_{\mathrm{viz}}^{4}\bigr)\Bigr].
  • Observação prática: se T_{2} não fosse medida e fosse incógnita, teria-se uma equação não linear (por causa do termo T_{2}^{4}) que precisaria ser resolvida numericamente para obter T_{2}. Como no enunciado T_{2} foi dado, a expressão acima fornece diretamente o perfil.

Resposta

T(x)=T_{2}+\frac{1}{k}\Bigl[\,h\bigl(T_{2}-T_{\infty}\bigr)+\varepsilon\,\sigma\bigl(T_{2}^{4}-T_{\mathrm{viz}}^{4}\bigr)\Bigr]\,(L-x).
T(0)=T_{2}+\frac{L}{k}\Bigl[\,h\bigl(T_{2}-T_{\infty}\bigr)+\varepsilon\,\sigma\bigl(T_{2}^{4}-T_{\mathrm{viz}}^{4}\bigr)\Bigr].

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