1. Considere uma extensa parede plana de espessura \mathrm{L}=0,4 \mathrm{~m} e condutividade térmica \mathrm{k}=8,4 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. Não há acesso ao lado interno da parede em \mathrm{x}=0, por isso, as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas. Entretanto, sabe-se que a superfície externa da parede em \mathrm{x}=\mathrm{L}, cuja a emissividade é \varepsilon=0,7 troca calor por convecção com ar ambiente em temperatura \mathrm{T}_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente médio de transferência de calor \mathrm{h}=14 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1}, bem como por radiação com as superfícies ao redor que se encontram a uma temperatura média \mathrm{T}_{\mathrm{viz}}=290 \mathrm{~K}. Além disso a temperatura da superfície externa mede \mathrm{T}_{2}=45^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente:
c) Avalie a temperatura da superfície interna da parede em \mathrm{x}=0.

Passo 1

O que o enunciado dá (valores conhecidos):
  • Espessura da parede: L=0,4\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica: k=8,4\\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Emissividade da superfície externa: \varepsilon=0,7.
  • Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo médio: h=14\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}.
  • Temperatura média das superfícies vizinhas (para radiação): T_{\mathrm{viz}}=290\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura medida da superfície externa (em x=L): T_2=45^\circ\mathrm{C}.
    O que o enunciado pede:
  • Avaliar a temperatura da superfície interna da parede em x=0.
    Observação: a superfície interna em x=0 não é acessível e sua temperatura não foi medida; portanto ela será obtida pelo balanço de calor (condução interna igual à perda externa por convecção + radiação).

Passo 2

Escrevendo o balanço térmico na superfície externa ( x=L): em regime permanente e unidimensional o fluxo de calor por condução que sai pela parede é igual à soma do fluxo convectivo e do fluxo radiativo que saem da superfície. Em termos de densidade de fluxo (por unidade de área) isso é
\dot{q}'' \;=\; \dot{q}''_{\text{conv}} \;+\; \dot{q}''_{\text{rad}}.
Aqui:
  • \dot{q}'' é o fluxo de calor atravessando a parede (positivo no sentido de x aumentando),
  • \dot{q}''_{\text{conv}} = h\,(T_2-T_{\infty}) (convecção linear),
  • \dot{q}''_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,(T_2^4-T_{\mathrm{viz}}^4) (radiação entre superfícies grandes, usando temperaturas em Kelvin).
    Antes de calcular, converter as temperaturas para Kelvin quando forem usadas na fórmula da radiação:
T_2 = 45^\circ\mathrm{C}=318\\ \mathrm{K},\qquad T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular o termo convectivo. Usar \dot{q}''_{\text{conv}}=h\,(T_2-T_{\infty}):
\dot{q}''_{\text{conv}} = 14\cdot(45-25)\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}} =14\cdot 20\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}} =280\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}.

Passo 4

Calcular o termo radiativo. Usar \dot{q}''_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,(T_2^4-T_{\mathrm{viz}}^4) com \sigma=5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}:
T_2^4 = 318^4 = 10\,226\,063\,376\\ \mathrm{K^4}, \qquad T_{\mathrm{viz}}^4 = 290^4 = 7\,072\,810\,000\\ \mathrm{K^4},
T_2^4 - T_{\mathrm{viz}}^4 = 3\,153\,253\,376\\ \mathrm{K^4}.
Logo
\dot{q}''_{\text{rad}} =0{,}7\cdot(5{,}670374419\times 10^{-8})\cdot(3{,}153\,253\,376) \approx 125{,}1\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}.
(foi usada a expressão exata da lei de Stefan–Boltzmann; o cálculo numérico foi feito mantendo casas significativas apropriadas).

Passo 5

Somar convecção e radiação para obter o fluxo total que atravessa a parede:
\dot{q}'' = \dot{q}''_{\text{conv}}+\dot{q}''_{\text{rad}} =280 + 125{,}1 \approx 405{,}1\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}.

Passo 6

Relacionar o fluxo por condução com a diferença de temperatura através da parede (condição de regime permanente, unidimensional):
\dot{q}'' = k\,\frac{T_1 - T_2}{L},
onde T_1 é a temperatura da superfície interna em x=0 (o que queremos). Isolando T_1:
T_1 = T_2 + \frac{\dot{q}''\,L}{k}.
Substituindo os valores numéricos ( \dot{q}''\approx 405{,}1\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}, L=0{,}4\\ \mathrm{m}, k=8{,}4\\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}, e T_2=45^\circ\mathrm{C}):
T_1 \approx 45^\circ\mathrm{C} + \frac{405{,}1\cdot 0{,}4}{8{,}4}\\ ^\circ\mathrm{C} =45^\circ\mathrm{C} + \frac{162{,}04}{8{,}4}\\ ^\circ\mathrm{C} \approx 45^\circ\mathrm{C} + 19{,}29^\circ\mathrm{C} \approx 64{,}3^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação curta: a superfície interna fica mais quente que a externa porque há fluxo de calor saindo pela face externa; o aumento de temperatura através da parede é dado por \Delta T=(\dot{q}''L)/k. O cálculo usou as perdas externas por convecção e por radiação (esta última calculada com temperaturas em Kelvin).

Resposta

T_{\text{interna}}\approx 64{,}3^\circ\mathrm{C}

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