1. Considere uma janela de vidro de 0,8 \mathrm{~m} de altura, 1,5 \mathrm{~m} de largura, 8 mm de espessura e condutividade térmica k=0,78 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}. Determine a taxa de transferência de calor permanente através da janela de vidro e a temperatura da superfície interna para o dia em que a sala está mantida a 20^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura externa é -10^{\circ} \mathrm{C}. Considere os coeficientes de transferência de calor sobre as superfícies interna e externa da janela iguais a h_{l}=10 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1} e h_{2}=40 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a taxa de transferência de calor permanente através da janela de vidro (ou seja, a potência térmica \dot{Q} que atravessa a área da janela).
  • Determinar a temperatura da superfície interna do vidro (temperatura da face voltada para o interior da sala).
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado e da imagem):
  • Altura da janela: H = 0,8\\ \mathrm{m}.
  • Largura da janela: W = 1,5\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do vidro: L = 8\\ \mathrm{mm} = 0,008\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do vidro: k = 0,78\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Temperatura interna do ar: T_{\mathrm{int}} = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa do ar: T_{\mathrm{ext}} = -10^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo interno: h_{1} = 10\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Coeficiente convectivo externo: h_{2} = 40\\ \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
Observação: vou resolver assumindo regime permanente, condução unidimensional através do vidro e convecção nas duas faces (modelo em rede de resistências térmicas).

Passo 2

Conceito e fórmulas básicas (aulas rápidas e diretas)
  • Em regime permanente a taxa de calor através de uma parede plana com resistências térmicas em série é
\dot{Q} = \frac{T_{\mathrm{int}}-T_{\mathrm{ext}}}{R_{\mathrm{tot}}}.
  • A resistência térmica total é soma das resistências convectivas e da resistência de condução:
R_{\mathrm{tot}} = R_{\mathrm{conv, int}} + R_{\mathrm{cond}} + R_{\mathrm{conv, ext}}.
  • As fórmulas para cada resistência (para área A) são:
R_{\mathrm{conv,int}}=\frac{1}{h_{1}A},\qquad R_{\mathrm{conv,ext}}=\frac{1}{h_{2}A},\qquad R_{\mathrm{cond}}=\frac{L}{kA}.
Explicando cada termo:
  • h_{1} e h_{2} são os coeficientes de convecção (quantificam quão eficiente é a troca térmica ar-superfície).
  • k é a condutividade do material (quanto maior k, mais fácil a condução).
  • A é a área da janela: o fluxo total é proporcional a área; as resistências são inversamente proporcionais à área.

Passo 3

Calcular a área da janela
A = H\cdot W = (0,8)\cdot(1,5)\\ \mathrm{m}^2 = 1,2\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular cada resistência térmica (mostrando contas passo a passo)
  • Resistência convectiva interna:
R_{\mathrm{conv,int}}=\frac{1}{h_{1}A}=\frac{1}{(10)\cdot(1,2)}=\frac{1}{12}=0,083333\\ \mathrm{K\!/\!W}.
  • Resistência convectiva externa:
R_{\mathrm{conv,ext}}=\frac{1}{h_{2}A}=\frac{1}{(40)\cdot(1,2)}=\frac{1}{48}=0,020833\\ \mathrm{K\!/\!W}.
  • Resistência de condução no vidro:
R_{\mathrm{cond}}=\frac{L}{kA}=\frac{0,008}{0,78\cdot 1,2}=\frac{0,008}{0,936}=0,008547\\ \mathrm{K\!/\!W}.
(Explicação curta: dividi a espessura pela condutividade vezes a área — quanto mais fino o vidro ou maior k, menor a resistência.)

Passo 5

Somar as resistências e calcular a taxa de calor
  • Resistência total:
R_{\mathrm{tot}}=0,083333+0,008547+0,020833=0,112713\\ \mathrm{K\!/\!W}.
  • Diferença de temperatura entre ar interno e externo:
\Delta T = T_{\mathrm{int}}-T_{\mathrm{ext}}=20-(-10)=30\\ \mathrm{K}.
  • Portanto a taxa de calor (potência) é
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{tot}}}=\frac{30}{0,112713}=266,2\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: cerca de 266\\ \mathrm{W} saem da sala através dessa janela enquanto as condições permanecerem assim.

Passo 6

Calcular a temperatura da superfície interna do vidro (passo a passo e explicando a física)
  • A queda de temperatura entre o ar interno e a superfície interna é dada por \Delta T_{\mathrm{conv,int}}=\dot{Q}\,R_{\mathrm{conv,int}}.
  • Logo a temperatura da superfície interna T_{\mathrm{surf,int}} é
T_{\mathrm{surf,int}}=T_{\mathrm{int}}-\dot{Q}\,R_{\mathrm{conv,int}}.
  • Substituindo valores (usei o valor de \dot{Q} calculado no passo anterior):
\dot{Q}\,R_{\mathrm{conv,int}}=266,2\cdot 0,083333=22,19\\ \mathrm{K}.
T_{\mathrm{surf,int}}=20-22,19=-2,19^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: a face interna do vidro estará abaixo de zero — isso explica porque pode ocorrer condensação ou sensação de frio junto ao vidro.

Passo 7

Verificação rápida (consistência das quedas de temperatura)
  • Queda por convecção interna: 22,19\\ \mathrm{K}.
  • Queda por condução no vidro: \dot{Q}R_{\mathrm{cond}}=266,2\cdot0,008547\approx2,28\\ \mathrm{K}.
  • Queda por convecção externa: \dot{Q}R_{\mathrm{conv,ext}}=266,2\cdot0,020833\approx5,55\\ \mathrm{K}.
    Soma das quedas: 22,19+2,28+5,55\approx30,02\\ \mathrm{K} (pequena diferença por arredondamento), que é consistente com \Delta T=30\\ \mathrm{K}.

Resposta

\dot{Q}=266,2\\ \mathrm{W}
T_{\mathrm{surf,int}}=-2,19^\circ\mathrm{C}

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