Considere f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x, y)=\sqrt[3]{x^{4}+y^{4}},(x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
(a) Determine as derivadas parciais de f em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} e prove que f é diferenciável em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}.
(b) f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Enunciado e informações dadas (o que o problema pede e o que já temos):
Perguntas:
(a) Determinar as derivadas parciais de f em todos os pontos de \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e provar que f é diferenciável em todos esses pontos.
(b) Verificar se f é diferenciável em (0,0) e justificar a resposta.
Teorema prático (muito usado em provas): se as derivadas parciais existem numa vizinhança de (a,b) e são contínuas nessa vizinhança, então f é diferenciável em (a,b). Vou usar esse teorema para os pontos (x,y)\neq(0,0) porque é a via mais direta.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0) usando regra da cadeia (explico a ideia):
Escrevo u(x,y)=x^4+y^4 e f(x,y)=g(u(x,y)) com g(t)=t^{1/3} para t>0. A regra da cadeia diz que
Comentário didático: a razão destes passos é a mesma que fazemos em uma função de uma variável composta com outra; tratamos x^4+y^4 como a “entrada” da raiz cúbica e aplicamos derivada dessa entrada vezes derivada da entrada em relação à variável que queremos.
Passo 4
Verificação da continuidade das derivadas parciais em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} (por que isso garante diferenciabilidade aí):
As fórmulas encontradas são quocientes de funções polinomiais contínuas; o denominador (x^4+y^4)^{2/3} não é zero quando (x,y)\neq(0,0). Assim cada função
é contínua em todo ponto onde (x^4+y^4)^{2/3}\neq 0, isto é, em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}. Pelo teorema prático citado, isso implica que f é diferenciável em todo ponto de \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
Observação prática para a prova: se o avaliador pedir, podemos ainda escrever explicitamente o diferencial (a matriz jacobiana) em (x,y)\neq(0,0) como
Logo as derivadas parciais no ponto (0,0) existem e ambas valem zero; o candidato a diferencial é L(h)=0\cdot h_1+0\cdot h_2=0.
Passo 6
Critério para concluir diferenciabilidade em (0,0) e prova direta com uma desigualdade simples:
Se o candidato ao diferencial em (0,0) é a forma linear L\equiv 0, para provar diferenciabilidade precisamos mostrar
(Usei que 2x^2y^2\ge 0 para obter a igualdade acima; a ideia é comparar x^4+y^4 com (x^2+y^2)^2.) Aplicando potência 1/3 em ambos os lados (função monótona crescente), obtemos
Portanto \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-0}{\|(x,y)\|}=0 e, por definição, f é diferenciável em (0,0) com diferencial zero (ou seja, \nabla f(0,0)=(0,0)).
Comentário intuitivo e de ânimo: a função f tende a zero mais rápido do que a norma \|(x,y)\| quando nos aproximamos da origem (pois f é da ordem \|(x,y)\|^{4/3}), então o “erro” normalizado desaparece — é por isso que o diferencial é zero aí.
Passo 7
Observações finais úteis para prova/entendimento (resumindo e reforçando):
Para (x,y)\neq(0,0) obtivemos explicitamente as derivadas parciais pela regra da cadeia; como essas expressões são contínuas em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}, f é diferenciável em todos esses pontos.
Em (0,0) as derivadas parciais existem e valem 0. A desigualdade que relaciona x^4+y^4 e \|(x,y)\|^4 dá que f(x,y)=O(\|(x,y)\|^{4/3}), o que garante a diferenciabilidade em (0,0) com diferencial nulo.
Portanto f é diferenciável em toda \mathbb{R}^2 (incluindo a origem). Se precisar, a expressão do gradiente é
(a) \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{4x^3}{3(x^4+y^4)^{2/3}},\quad
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{4y^3}{3(x^4+y^4)^{2/3}} para (x,y)\neq(0,0); f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
(b) Sim. f é diferenciável em (0,0); \nabla f(0,0)=(0,0) (pois \partial f/\partial x(0,0)=\partial f/\partial y(0,0)=0 e f(x,y)=O(\|(x,y)\|^{4/3}) dá o termo de restinho o(\|(x,y)\|)).