Mostre que f\] é diferenciável em todos os pontos de \(\mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\) definida por
\[f(x,y)= \begin{cases} \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/4}\,\sin\!\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}+y^{4}}\right) & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0 & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que nos pedem: mostrar que f\] é diferenciável em todo ponto de \(\mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar:
A expressão vale a fórmula indicada para todo (x,y)\neq(0,0).
Para (x,y)=(0,0) o valor é 0.
Note que, para (x,y)\neq(0,0), temos x^{4}+y^{4}>0 (pois somatório de potências pares não-nulas é positivo).
A função \sin é limitada por [-1,1], ou seja |\sin t|\le 1 para todo t.]
Passo 2
Mostramos primeiro diferenciabilidade em qualquer ponto (x_{0},y_{0})\neq(0,0).
Explicação didática do método: quando estamos longe da origem, todas as expressões que aparecem são combinações (soma, produto, potência com expoente racional positivo aplicado a quantidade positiva, divisão por função que é estritamente positiva, e composição com \sin) de funções polinomiais e funções elementares suaves. Essas operações preservam a diferenciabilidade. Vou mostrar isto passo a passo de forma simples e concreta.
Defina as funções elementares
u(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad w(x,y)=x^{4}+y^{4}.
Elas são polinômios em x,y, logo são C^{\infty} (infinitamente diferenciáveis) em toda \mathbb{R}^{2}.
Para (x_{0},y_{0})\neq(0,0) temos w(x_{0},y_{0})>0. Como w é contínua, existe um entorno de (x_{0},y_{0}) em que w>0. Nessa região podemos considerar a função 1/w, que é também C^{\infty} (divisão por função não nula preserva suavidade).
Considere a função
t(x,y)=\frac{u(x,y)}{w(x,y)}.
Como u e 1/w são C^{\infty} na vizinhança de (x_{0},y_{0}), t é C^{\infty} aí.
A função v(u)=u^{3/4} é C^{\infty} em (0,\infty). Compondo v com u(x,y) obtemos (x^{2}+y^{2})^{3/4}, que é C^{\infty} em todos os pontos onde u>0, isto é, em (x,y)\neq(0,0).
A função \sin é C^{\infty} em \mathbb{R}; portanto \sin\circ t é C^{\infty} onde t é C^{\infty}.
Finalmente f(x,y) para (x,y)\neq(0,0) é produto de duas funções C^{\infty} (aqui (x^{2}+y^{2})^{3/4} e \sin(t(x,y))), e o produto de funções C^{\infty} é C^{\infty}.
Conclusão deste passo: para todo (x_{0},y_{0})\neq(0,0) a função f é C^{\infty} (portanto diferenciável) num entorno de (x_{0},y_{0}). Em particular, f é diferenciável em todo ponto diferente da origem.
Passo 3
Agora tratamos o caso (x,y)=(0,0). Aqui é onde normalmente a prova exige um cuidado extra: precisamos verificar a definição de diferenciabilidade em \mathbb{R}^{2} no ponto 0.
Relembrando a definição (em linguagem simples): f é diferenciável em (0,0) se existe uma transformação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que, para h=(h_{1},h_{2}) pequeno,
f(h)-f(0)-L(h)=o(\|h\|),
ou seja o resto dividido por \|h\| tende a 0 quando h\to 0. O candidato natural para L é o mapa linear dado pelo gradiente \nabla f(0,0). Vamos mostrar que \nabla f(0,0)=(0,0) e que o resto é o(\|h\|). Vou passo a passo.
Passo 4
Encontrar as derivadas parciais na origem (ou usar uma estimativa direta). Primeiro uma observação útil, usando que |\sin t|\le 1:
Isto mostra exatamente que, tomando L igual à forma linear zero (isto é, L(h)=0 para todo h), o resto f(h)-f(0)-L(h)=f(h) satisfaz f(h)=o(\|h\|). Portanto f é diferenciável em (0,0) e a diferencial (matriz jacobiana) em (0,0) é a aplicação linear nula; em coordenadas, \nabla f(0,0)=(0,0).
Passo 5
Complemento didático: verificação das derivadas parciais por definição (opcional, mas dá segurança):
Calculemos, por exemplo, a derivada parcial em x na origem:
logo o quociente absoluto é majorado por |h|^{1/2}, que tende a 0. Assim a derivada parcial existe e vale 0. O mesmo raciocínio com a variável y dá \partial f/\partial y(0,0)=0. Isso é consistente com a diferencial nula encontrada antes.
Passo 6
Juntando tudo:
Para (x,y)\neq(0,0), f é C^{\infty} (portanto diferenciável) por ser composição e produto de funções polinomiais e funções suaves em pontos onde denominador x^{4}+y^{4} é positivo.
Em (0,0), mostramos diretamente que f(h)=o(\|h\|), logo f é diferenciável aí e D f(0,0)=0.
Também comentei e verifiquei que as derivadas parciais na origem existem e são 0, compatível com a diferenciabilidade.
Resposta
A função f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.