Considere f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{|x y| \sin \left(x^{2} y-y x^{3}\right)}{\sqrt{x^{6}+y^{2}}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0), \\\ a & \text { se } & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(a) Determine o valor de a para que f seja contínua em (0,0).
(b) Mostre que f é diferenciável em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado fornece a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{|x y|\;\sin\!\big(x^{2}y-yx^{3}\big)}{\sqrt{x^{6}+y^{2}}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] a, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
Determinar o valor de a para que f seja contínua em (0,0).
Mostrar que f é diferenciável em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A expressão para f(x,y) quando (x,y)\neq(0,0) contém fatores |xy|, \sin(\cdot) e \sqrt{x^{6}+y^{2}}.
Em particular, a raiz \sqrt{x^{6}+y^{2}} é sempre positiva quando (x,y)\neq(0,0), e é zero apenas em (0,0).
Para decidir a continuidade em (0,0) precisamos calcular o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) e igualá‑lo a a.
Para mostrar diferenciabilidade em todos os pontos, devemos considerar separadamente o caso no ponto (0,0) e os pontos (x,y)\neq(0,0) (a presença de |\cdot| pode causar cuidado nas retas onde xy=0).]
Passo 2
Objetivo neste passo: provar que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0. Isso mostrará que, para continuidade em (0,0), devemos escolher a=0.
Primeiro fato útil (inequação clássica para seno): para todo t\in\mathbb{R} vale
|\sin t|\le |t|.
Vou aplicar isso ao argumento t=x^{2}y-yx^{3}=y x^{2}(1-x).
Aplicando a desigualdade do seno temos, para (x,y)\neq(0,0),
Portanto, dividindo por 1 e fazendo (x,y)\to(0,0) (ou seja r\to0), o lado direito tende a 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Conclusão: para que f seja contínua em (0,0) devemos escolher a=0.
Passo 4
Agora vamos tratar da diferenciabilidade em (0,0). Lembrando a definição: f é diferenciável em (0,0) se existe uma forma linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que
Portanto o resto é o(r) e f é diferenciável em (0,0) com diferencial nulo.
Passo 6
Agora tratamos da diferenciabilidade em pontos (x_{0},y_{0})\neq(0,0). Há três subcasos naturais:
Pontos com x_{0}y_{0}\neq0.
Pontos com x_{0}=0 e y_{0}\neq0.
Pontos com x_{0}\neq0 e y_{0}=0.
Vou tratar cada um.
Passo 7
Caso 1: x_{0}y_{0}\neq0.
Nessas posições o fator xy é não nulo e, portanto, a função |xy| é igual a either xy ou -xy numa vizinhança de (x_{0},y_{0}); isto é, |xy| coincide com a função suave \mathrm{sgn}(xy)\cdot xy com \mathrm{sgn}(xy) constante localmente. As outras funções que aparecem (\sin composta com polinômios e \sqrt{x^{6}+y^{2}} com denominador não nulo) são suaves onde o denominador é estritamente positivo. Portanto f é composição e quociente de funções suaves num entorno de (x_{0},y_{0}), logo f é diferenciável em (x_{0},y_{0}).
Passo 8
Caso 2: x_{0}=0 e y_{0}\neq0.
Aqui o produto xy muda de sinal ao atravessar a reta x=0, então precisamos verificar diferenciabilidade com cuidado. Vou mostrar que as derivadas parciais existem e que o resto é o(\sqrt{h^{2}+k^{2}}).
Primeiro, ao fixar y=y_{0}\neq0 e variar x, consideramos a diferença direcional para a derivada parcial em x:
No numerador aparece um fator h^{2}, enquanto o denominador fica próximo de |y_{0}| quando h\to0. Assim o quociente tende a zero quando h\to0. Logo \partial f/\partial x(0,y_{0})=0.
Para a derivada parcial em y em (0,y_{0}) podemos fazer cálculo semelhante (ou observar que, por similaridade, teremos \partial f/\partial y(0,y_{0})=0). Em ambos os casos as derivadas parciais existem e valem zero.
Finalmente precisamos do resto: para (h,k) pequeno ao redor de (0,y_{0}) temos y próximo de y_{0} com |y|\ge c>0 para c apropriado, então podemos reproduzir as estimativas do Passo 2/3 trocando a constante; o fator |xy| combinado com o fator aproximadamente x^{2} vindo do seno garante que f tem ordem ao menos O(|x|^{3}) em x e ordem O(|k|) em k, o que é suficiente para que
com L a forma linear dada pelas derivadas parciais (neste caso L será calculada e é finita). Especificamente, as estimativas que já usamos mostram que o numerador tende a zero mais rápido do que \sqrt{h^{2}+k^{2}}, garantindo diferenciabilidade.
Passo 9
Caso 3: x_{0}\neq0 e y_{0}=0.
É análogo ao caso 2 por simetria: fixando x=x_{0}\neq0 o denominador fica afastado de zero e o numerador contém o fator |xy| que anula na reta y=0 com ordem suficiente (o seno contribui com fatores em potências de y também) para obter derivadas parciais existentes e resto o(\sqrt{h^{2}+k^{2}}). Assim f é diferenciável em (x_{0},0).
Passo 10
Resumo das conclusões:
A estimativa do Passo 3 mostra que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0, portanto a escolha a=0 torna f contínua em (0,0).
Em (0,0) as derivadas parciais existem e valem 0; a estimativa que dá |f(x,y)|\le(1+r)r^{4} com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} implica que o resto da linearização é o(r). Logo f é diferenciável em (0,0).
Para (x,y)\neq(0,0) distinguimos os pontos onde xy\neq0 (onde todas as funções intervenientes são suaves localmente) e os pontos sobre os eixos, exceto a origem (onde as estimativas mostraram que o fator |xy| e o argumento do seno produzem ordens altas em x ou y suficientes para garantir diferenciabilidade). Consequentemente, f é diferenciável em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}.