Considere
e assuma que ao derivar esta expressão na variável
, podemos inverter o sinal da derivada
com a integral
. Mostre que para
um inteiro positivo temos
Com isto, vemos que cada derivada da transformada de Laplace corresponde a multiplicar a função original por
. Use isto para encontrar as derivadas de Laplace das funções abaixo e compare com o Exercício P1…
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado define a transformada de Laplace
e pede para mostrarmos que
Em seguida, usando essa propriedade, queremos calcular as transformadas de Laplace de várias funções do tipo
vezes exponencial, seno ou cosseno.
Passo 2
Prova da propriedade para
:
pelo teorema de diferenciação sob o sinal de integral,
Então
Passo 3
Aplicando a indução, conclui-se que
Reescrevendo, obtemos a fórmula prática
Passo 4
(a) Para
já sabemos
Logo
Passo 5
(b) Para
temos
Então
Como
, obtemos
Passo 6
(c) Para
vale
Então
Passo 7
(d) Combinações de (c) e deslocamento em
:
Passo 8
(e) Para
:
Logo
e como há o sinal “
” extra para o fator
,
Passo 9
(f) Para
:
Então
e aplicando o “
” de
,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)