A Função Gama. A função gama é definida por
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p} d x
que é uma integral convergente para todo p>-1.
(a) Mostre que \Gamma(p+1)=p \Gamma(p) para todo p>0.
(b) Mostre que \Gamma(1)=1.
(c) Se p=n é um inteiro positivo, mostre que
\Gamma(n+1)=n!.
Observação. Como \Gamma(p) está definida mesmo quando p não é inteiro, a função gama é conhecida como uma extensão do fatorial.
(d) Sabendo que \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}, calcule \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) e \Gamma\left(\frac{11}{2}\right)
(e) Para todo p>-1 mostre que
\mathscr{L}\left\{t^{p}\right\}(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, s>0 .
(f) No item acima, o que ocorre quando p=n é um inteiro positivo?
(g) Sabendo que \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}, mostre
\mathscr{L}\left\{t^{-\frac{1}{2}}\right\}(s)=\frac{\sqrt{\pi}}{s^{1 / 2}}, s>0
(h) Mostre que
\mathscr{L}\left\{t^{\frac{1}{2}}\right\}(s)=\frac{\sqrt{\pi}}{2 s^{3 / 2}}, s>0

Passo 1

O enunciado trata da função Gama, definida por
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{p}\,dx
válida para p>-1. Precisamos usar integração por partes para obter a relação de recorrência, avaliar casos especiais ( p=0, p\in\mathbb{N} e meios-inteiros) e aplicar mudança de variável na definição da transformada de Laplace
\mathscr{L}\{t^{p}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{p}\,dt.

Passo 2

Para obter \Gamma(p+1)=p\Gamma(p) com p>0, aplicamos integração por partes em
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{p}\,dx.
Escolhemos
u = x^{p},\quad dv = e^{-x}\,dx,
logo
du = p\,x^{p-1}\,dx,\quad v = -e^{-x}.
Assim,
\Gamma(p+1) =\Bigl.-e^{-x}x^{p}\Bigr|_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty}e^{-x}p\,x^{p-1}\,dx.
O termo de fronteira some para p>0, restando
\Gamma(p+1) = p\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{p-1}\,dx = p\,\Gamma(p).

Passo 3

Para mostrar \Gamma(1)=1, basta pôr p=0 na definição:
\Gamma(1) =\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{0}\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,dx =\Bigl.-e^{-x}\Bigr|_{0}^{\infty} =1.

Passo 4

Se p=n é inteiro positivo, aplicamos recorrentemente
\Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n) =n\,(n-1)\,\Gamma(n-1) =\cdots =n\cdot(n-1)\cdots1\;\Gamma(1) =n!.

Passo 5

Para meios-inteiros usamos a recorrência a partir de \Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi:
\Gamma\bigl(\tfrac32\bigr) =\tfrac12\,\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) =\tfrac12\sqrt\pi.
E para \Gamma(\tfrac{11}2):
\Gamma\bigl(\tfrac{11}2\bigr) =\tfrac{9}{2}\,\Gamma\bigl(\tfrac{9}{2}\bigr) =\tfrac{9}{2}\cdot\tfrac{7}{2}\cdot\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\,\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) =\frac{945}{32}\,\sqrt\pi.

Passo 6

Para a transformada de Laplace de t^{p}:
\mathscr{L}\{t^{p}\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{p}\,dt.
Fazemos x=st, de modo que t=x/s e dt=dx/s. Então
\mathscr{L}\{t^{p}\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-x}\Bigl(\tfrac{x}{s}\Bigr)^{p}\frac{dx}{s} =\frac{1}{s^{p+1}} \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{p}\,dx =\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}.

Passo 7

Quando p=n é inteiro, \Gamma(n+1)=n!, logo
\mathscr{L}\{t^{n}\}(s) =\frac{n!}{s^{n+1}}.

Passo 8

Para p=-\tfrac12 na fórmula do Passo 6,
\mathscr{L}\{t^{-\tfrac12}\}(s) =\frac{\Gamma(\tfrac12)}{s^{1/2}} =\frac{\sqrt\pi}{s^{1/2}}.

Passo 9

Para p=\tfrac12 na fórmula do Passo 6,
\mathscr{L}\{t^{\tfrac12}\}(s) =\frac{\Gamma(\tfrac32)}{s^{3/2}} =\frac{\tfrac12\sqrt\pi}{s^{3/2}} =\frac{\sqrt\pi}{2\,s^{3/2}}.

Resposta

(a) \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p).
(b) \Gamma(1)=1.
(c) \Gamma(n+1)=n! para n\in\mathbb{N}.
(d) \Gamma(\tfrac32)=\tfrac12\sqrt\pi, \Gamma(\tfrac{11}2)=\tfrac{945}{32}\sqrt\pi.
(e) \mathscr{L}\{t^{p}\}(s)=\dfrac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, s>0.
(f) Para p=n\in\mathbb{N}, \mathscr{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}}.
(g) \mathscr{L}\{t^{-\tfrac12}\}(s)=\dfrac{\sqrt\pi}{s^{1/2}}.
(h) \mathscr{L}\{t^{\tfrac12}\}(s)=\dfrac{\sqrt\pi}{2\,s^{3/2}}.

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