Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\log n)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\log n)^{n}}.
O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos e vamos usar o teste da raiz para séries.

Passo 2

Denotemos
a_{n} = \frac{1}{(\log n)^{n}}.
Pelo teste da raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{(\log n)^{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n} = 0.

Passo 3

Como L=0<1, o teste da raiz garante que a série \sum a_{n} converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\log n)^{n}} converge.

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