(10 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial.
x^prime=2 x+4 y, & x(0)=4 y^prime=x+2 y, & y(0)=-4

Passo 1

O problema pede para resolver o sistema linear de ODEs de primeira ordem com coeficientes constantes
x′=2x+4y, x(0)=4; y′=x+2y, y(0)=−4. Esse é um típico caso de sistemas da forma X′=AX, em que vamos precisar calcular autovalores e autovetores da matriz de coeficientes para diagonalizar e escrever a solução geral.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial
X=xy, A=2 & 41 & 2, X=AX
A ideia é achar autovalores λ de A, depois autovetores v, e montar a solução como combinação linear de e^{λt}v.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-λI)=(2-λ)^2-4;=;λ^2-4λ+4-4=λ(λ-4)
Logo os autovalores são λ_1=0 e λ_2=4.

Passo 4

Para λ_1=0, resolvemos (A-0I)v=0:
2 & 41 & 2ab=0
Isso dá 2a+4b=0 ⇒ a=−2b. Podemos escolher b=1, ficando v_1=(−2,1)^T.

Passo 5

Para λ_2=4, resolvemos (A-4I)v=0:
-2 & 41 & -2ab=0
Isso dá −2a+4b=0 ⇒ b=a/2. Escolhendo a=2, temos v_2=(2,1)^T.

Passo 6

A solução geral do sistema é
X(t)=C1e^0tv1+ C2e^4tv2 = C1-21+ C2e^4t21
Em componentes:
x(t)=-2C1+2C2e^4t, y(t)=C1+C2e^4t

Passo 7

Usamos as condições iniciais em t=0:
-2C1+2C2=4,C1+C2=-4
Da segunda equação C_1=-4-C_2. Substituindo na primeira:
-2(-4-C2)+2C2=4
8+2C2+2C2=4
4C2=-4⇒C2=-1, C1=-4-(-1)=-3

Resposta

As constantes são C_1=−3 e C_2=−1. Logo a solução que satisfaz as condições iniciais é:
x(t)=6-2e^4t, y(t)=-3-e^4t

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