(10 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial.
Passo 1
O problema pede para resolver o sistema linear de ODEs de primeira ordem com coeficientes constantes
x′=2x+4y, x(0)=4; y′=x+2y, y(0)=−4. Esse é um típico caso de sistemas da forma X′=AX, em que vamos precisar calcular autovalores e autovetores da matriz de coeficientes para diagonalizar e escrever a solução geral.
x′=2x+4y, x(0)=4; y′=x+2y, y(0)=−4. Esse é um típico caso de sistemas da forma X′=AX, em que vamos precisar calcular autovalores e autovetores da matriz de coeficientes para diagonalizar e escrever a solução geral.
Passo 2
Escrevemos em forma matricial
A ideia é achar autovalores λ de A, depois autovetores v, e montar a solução como combinação linear de e^{λt}v.
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de A:
Logo os autovalores são λ_1=0 e λ_2=4.
Passo 4
Para λ_1=0, resolvemos (A-0I)v=0:
Isso dá 2a+4b=0 ⇒ a=−2b. Podemos escolher b=1, ficando v_1=(−2,1)^T.
Passo 5
Para λ_2=4, resolvemos (A-4I)v=0:
Isso dá −2a+4b=0 ⇒ b=a/2. Escolhendo a=2, temos v_2=(2,1)^T.
Passo 6
A solução geral do sistema é
Em componentes:
Passo 7
Usamos as condições iniciais em t=0:
Da segunda equação C_1=-4-C_2. Substituindo na primeira:
Resposta
As constantes são C_1=−3 e C_2=−1. Logo a solução que satisfaz as condições iniciais é: