Considere F(t)=\left(\cos t, t^{2} \operatorname{sen} t, \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\right).
(a) Encontre o domínio de F e determine onde essa função é contínua.
(b) Calcule F^{\prime}(t).
(c) Calcule \lim _{t \rightarrow 0} F^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetor \displaystyle F(t)=\bigl(\cos t,\;t^{2}\operatorname{sen} t,\;\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\bigr)
e pede:
– (a) o domínio de F e onde ela é contínua;
– (b) sua derivada F'(t);
– (c) o limite de F'(t) quando t\to0.
Vamos usar teoria de domínio de funções reais, continuidade de composições e derivação componente a componente.

Passo 2

Para achar o domínio, examinamos cada componente: \cos t e t^{2}\operatorname{sen} t estão definidas para todo t\in\mathbb{R}. Já \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}} exige 1-t^{2}>0, ou seja t^{2}<1. Logo o domínio de F é
(-1,1).
Como todas as operações (cosseno, seno, polinômio, raiz e quociente) são contínuas em seus domínios, F é contínua em todo (-1,1).

Passo 3

Derivamos componente a componente usando regras de derivação:
\displaystyle \frac{d}{dt}[\cos t]=-\,\operatorname{sen} t.
– Para \displaystyle t^{2}\operatorname{sen} t, vale a regra do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\operatorname{sen} t\bigr) =2t\operatorname{sen} t + t^{2}\cos t.
– Para \displaystyle \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}} =t\,(1-t^{2})^{-\tfrac12}, aplicamos produto e cadeia:
\frac{d}{dt}\Bigl[t\,(1-t^{2})^{-\tfrac12}\Bigr] =(1-t^{2})^{-\tfrac12} + t\bigl(-\tfrac12\bigr)(1-t^{2})^{-\tfrac32}\cdot(-2t) =\frac{1}{(1-t^{2})^{\tfrac32}}.
Portanto
F'(t) =\Bigl(-\,\operatorname{sen} t,\;2t\operatorname{sen} t + t^{2}\cos t,\;\frac{1}{(1-t^{2})^{\tfrac32}}\Bigr).

Passo 4

Para \displaystyle \lim_{t\to0}F'(t), analisamos cada componente: \displaystyle -\operatorname{sen} t\to0, \displaystyle 2t\operatorname{sen} t + t^{2}\cos t \to 0+0=0, \displaystyle \frac{1}{(1-t^{2})^{\tfrac32}}\to1.
Logo
\lim_{t\to0}F'(t) = (0,0,1).

Resposta

(a) O domínio é (-1,1) e F é contínua em todo esse intervalo.
(b)
F'(t)=\Bigl(-\,\operatorname{sen} t,\;2t\operatorname{sen} t + t^{2}\cos t,\;\frac{1}{(1-t^{2})^{\tfrac32}}\Bigr).
(c)
\lim_{t\to0}F'(t) = (0,0,1).

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