Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
(d) F(t)=(t-2, \sqrt[3]{t}, \sqrt{t}) e F(8),

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva parametrizada por
F(t) = (\,t-2,\;\sqrt[3]{t},\;\sqrt{t}\,)
no ponto correspondente a t=8. Para escrever essa reta, precisamos do ponto F(8) e do vetor tangente F'(8), pois a reta tangente em curvas paramétricas é dada por
r(s) = F(8) + s\,F'(8).

Passo 2

Calcular o ponto de tangência F(8). Substituindo t=8 em cada componente de F(t), temos
F(8) = \bigl(8-2,\;\sqrt[3]{8},\;\sqrt{8}\bigr) = \bigl(6,\;2,\;2\sqrt{2}\bigr).

Passo 3

Determinar o vetor velocidade F'(t) diferenciando cada componente de F(t):
F'(t) = \biggl(\frac{d}{dt}(t-2),\;\frac{d}{dt}\sqrt[3]{t},\;\frac{d}{dt}\sqrt{t}\biggr) = \Bigl(1,\;\tfrac{1}{3\,t^{2/3}},\;\tfrac{1}{2\,\sqrt{t}}\Bigr).

Passo 4

Avaliar F'(t) em t=8:
F'(8) = \Bigl(1,\;\tfrac{1}{3\cdot8^{2/3}},\;\tfrac{1}{2\sqrt{8}}\Bigr) = \Bigl(1,\;\tfrac{1}{12},\;\tfrac{1}{4\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 5

Montar a equação paramétrica da reta tangente usando s como parâmetro:
r(s) = (6,2,2\sqrt{2}) + s\Bigl(1,\tfrac{1}{12},\tfrac{1}{4\sqrt{2}}\Bigr).
Em coordenadas, isso equivale a
x(s)=6+s,\quad y(s)=2+\frac{s}{12},\quad z(s)=2\sqrt{2}+\frac{s}{4\sqrt{2}}.

Resposta

A reta tangente é
r(s) = (6,2,2\sqrt{2}) + s\Bigl(1,\tfrac{1}{12},\tfrac{1}{4\sqrt{2}}\Bigr).

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