Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
(f)
e
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é aberto em
.
Lembrando que um conjunto é aberto se, para todo ponto
, existe
tal que a bola
Lembrando que um conjunto
está inteiramente contida em
.
Passo 2
Considere primeiro um ponto genérico
com
e
. Defina
Então
e, para qualquer
com
, vale
-
, -
.
Logo, isto é, todo ponto com , é interior a .
Passo 3
Agora considere um ponto da forma
com
, que também pertence a
. Seja qualquer
. Na bola
existe o ponto
, pois
Mas
, logo esse ponto não está em
. Assim nenhuma bola em torno de
fica contida em
, e esses pontos não são interiores.
Resposta
O conjunto
não é aberto em
.