Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em \mathbb{R}^{2}.
(f) \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \geq 0\right. e \left.y>\frac{1}{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0 \text{ e } y>\tfrac12\}
é aberto em \mathbb{R}^2.
Lembrando que um conjunto U\subset\mathbb{R}^2 é aberto se, para todo ponto p\in U, existe r>0 tal que a bola
B(p,r)=\{q\in\mathbb{R}^2 : \|q-p\|<r\}
está inteiramente contida em U.

Passo 2

Considere primeiro um ponto genérico (x_0,y_0)\in A com x_0>0 e y_0>\tfrac12. Defina
r = \min\bigl\{x_0,\; y_0-\tfrac12\bigr\}.
Então r>0 e, para qualquer (x,y) com \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<r, vale
  1. x \ge x_0 - r \ge x_0 - x_0 = 0,
  2. y > y_0 - r \ge y_0 - (y_0-\tfrac12) = \tfrac12.
    Logo B\bigl((x_0,y_0),r\bigr)\subset A, isto é, todo ponto com x_0>0, y_0>\tfrac12 é interior a A.

Passo 3

Agora considere um ponto da forma (0,y_0) com y_0>\tfrac12, que também pertence a A. Seja qualquer r>0. Na bola B\bigl((0,y_0),r\bigr) existe o ponto \bigl(-\tfrac r2,y_0\bigr), pois
\sqrt{\bigl(-\tfrac r2 - 0\bigr)^2 + (y_0-y_0)^2} = \tfrac r2 < r.
Mas -\tfrac r2<0, logo esse ponto não está em A. Assim nenhuma bola em torno de (0,y_0) fica contida em A, e esses pontos não são interiores.

Resposta

O conjunto A não é aberto em \mathbb{R}^2.

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