5. Sendo
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre
e
:
O que se pede: calcular
.
Informações relevantes:
- A igualdade acima vale para todo
em que a expressão faz sentido. - Queremos o valor da função
no ponto cujo argumento é , ou seja, .
Passo 2
Estratégia simples e direta (o jeito que costuma cair na prova): encontrar um valor de
tal que o argumento
seja exatamente
. Então resolvemos a equação
Agora vamos resolver passo a passo: somar
em ambos os lados dá
Dividir ambos os lados por
dá
Passo 3
Como
satisfaz
, podemos substituir
na identidade dada para obter diretamente
. Usando a relação do enunciado:
Agora calculamos o lado direito passo a passo:
Portanto, obtemos
.
Passo 4
Explicação didática do que fizemos (uma mini-aula): a igualdade
fornece o valor de
quando o argumento é da forma
. Para calcular
em um argumento específico,
(aqui
), basta achar
tal que
. Como a transformação
é invertível (é uma função linear que podemos “desfazer”), é sempre possível resolver para
e então usar a fórmula dada. Esse é o truque: transformar o pedido
num
apropriado e usar a relação fornecida.
Passo 5
Outra forma — obter
explicitamente como função de um argumento genérico — (útil para ver a estrutura da função):
- Seja
o argumento genérico, isto é, ponha . Então . - Substituindo em
obtemos
- Simplificando:
- Agora basta pôr
: