5. Sendo f(2 x-3)=4 x+1, calcule f(5).

Passo 1

O enunciado dá a relação entre f e x:
f(2x-3)=4x+1
O que se pede: calcular f(5).
Informações relevantes:
  • A igualdade acima vale para todo x em que a expressão faz sentido.
  • Queremos o valor da função f no ponto cujo argumento é 5, ou seja, f(5).

Passo 2

Estratégia simples e direta (o jeito que costuma cair na prova): encontrar um valor de x tal que o argumento 2x-3 seja exatamente 5. Então resolvemos a equação
2x-3=5.
Agora vamos resolver passo a passo: somar 3 em ambos os lados dá
2x=8.
Dividir ambos os lados por 2
x=4.

Passo 3

Como x=4 satisfaz 2x-3=5, podemos substituir x=4 na identidade dada para obter diretamente f(5). Usando a relação do enunciado:
f(5)=f(2\cdot 4-3)=4\cdot 4+1.
Agora calculamos o lado direito passo a passo:
4\cdot 4=16,
16+1=17.
Portanto, obtemos f(5)=17.

Passo 4

Explicação didática do que fizemos (uma mini-aula): a igualdade f(2x-3)=4x+1 fornece o valor de f quando o argumento é da forma 2x-3. Para calcular f em um argumento específico, a (aqui a=5), basta achar x tal que 2x-3=a. Como a transformação x\mapsto 2x-3 é invertível (é uma função linear que podemos “desfazer”), é sempre possível resolver para x e então usar a fórmula dada. Esse é o truque: transformar o pedido f(a) num f(2x-3) apropriado e usar a relação fornecida.

Passo 5

Outra forma — obter f explicitamente como função de um argumento genérico — (útil para ver a estrutura da função):
  • Seja t o argumento genérico, isto é, ponha t=2x-3. Então x=\dfrac{t+3}{2}.
  • Substituindo em f(2x-3)=4x+1 obtemos
f(t)=4\left(\frac{t+3}{2}\right)+1.
  • Simplificando:
f(t)=2(t+3)+1=2t+6+1=2t+7.
  • Agora basta pôr t=5:
f(5)=2\cdot 5+7=10+7=17.

Resposta

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