Considere f(x)=x^{3}.
Determine a área limitada por f(x) no intervalo 0,2.

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=x^{3}\; e pede a área limitada por f no intervalo \;[0,2]\;. Informações importantes extraídas do enunciado:
\;f(x)=x^{3}\;.
O intervalo de interesse é \;[0,2]\;.
A pergunta é: qual é a área da região limitada pela curva y=f(x), pelos pontos x=0 e x=2 e pelo eixo x (ou seja, a área sob a curva entre \;x=0\; e \;x=2\;).

Passo 2

O que significa “área limitada pela curva” aqui? Quando a função é não negativa no intervalo, a área pedida é o valor do integral definido
\int_{0}^{2} f(x)\,dx.
Explicando a fórmula de forma bem simples: \int_{0}^{2} f(x)\,dx representa o limite de somas de retângulos (somas de Riemann)
\int_{0}^{2} f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x,
onde \;\Delta x=\tfrac{2-0}{n}\; é a largura de cada subintervalo e \;x_i^*\; é algum ponto dentro do i-ésimo subintervalo. Não precisamos calcular esse limite diretamente agora porque existe uma ferramenta mais prática (antiderivada) que nos dá o mesmo resultado.

Passo 3

Verifiquemos o sinal da função no intervalo para termos certeza de que a integral corresponde à área (sem subtrações):
para \;x\in[0,2]\; temos \;x\ge 0\;, logo \;x^{3}\ge 0\;. Portanto a função é não negativa em todo o intervalo e a área solicitada é de fato
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular o integral definido. Usamos a regra da primitiva (antiderivada) para potências: para todo número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Por que isso vale? Porque, ao diferenciar \tfrac{x^{n+1}}{n+1} usando a regra do poder, obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}.
Um exemplo simples: \int x^{2}\,dx=\tfrac{x^{3}}{3}+C porque \tfrac{d}{dx}\big(\tfrac{x^{3}}{3}\big)=x^{2}.

Passo 5

Aplicando a regra da potência para n=3 obtemos uma antiderivada de x^{3}:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}+C.
Para calcular o integral definido usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma antiderivada de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui F(x)=\tfrac{x^{4}}{4}. Portanto
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}.

Passo 6

Calculemos os valores numéricos passo a passo:
\;2^{4}=16\;, então \;\tfrac{2^{4}}{4}=\tfrac{16}{4}=4\;.
E \;0^{4}=0\;, então \;\tfrac{0^{4}}{4}=0\;.
Subtraindo,
\frac{2^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=4-0=4.

Passo 7

Conclusão: a área limitada pela curva \;y=x^{3}\; no intervalo \;[0,2]\; é \;4\;. Parabéns — foi direto: reconhecer que a função é não negativa e aplicar a regra da potência para achar a antiderivada resolve essa questão rapidamente na prova.

Resposta

4

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