Determine a área limitada por f(x) no intervalo 0,2.
Passo 1
O enunciado dá a função \;f(x)=x^{3}\; e pede a área limitada por f no intervalo \;[0,2]\;. Informações importantes extraídas do enunciado: \;f(x)=x^{3}\;.
O intervalo de interesse é \;[0,2]\;.
A pergunta é: qual é a área da região limitada pela curva y=f(x), pelos pontos x=0 e x=2 e pelo eixo x (ou seja, a área sob a curva entre \;x=0\; e \;x=2\;).
Passo 2
O que significa “área limitada pela curva” aqui? Quando a função é não negativa no intervalo, a área pedida é o valor do integral definido
\int_{0}^{2} f(x)\,dx.
Explicando a fórmula de forma bem simples: \int_{0}^{2} f(x)\,dx representa o limite de somas de retângulos (somas de Riemann)
onde \;\Delta x=\tfrac{2-0}{n}\; é a largura de cada subintervalo e \;x_i^*\; é algum ponto dentro do i-ésimo subintervalo. Não precisamos calcular esse limite diretamente agora porque existe uma ferramenta mais prática (antiderivada) que nos dá o mesmo resultado.
Passo 3
Verifiquemos o sinal da função no intervalo para termos certeza de que a integral corresponde à área (sem subtrações):
para \;x\in[0,2]\; temos \;x\ge 0\;, logo \;x^{3}\ge 0\;. Portanto a função é não negativa em todo o intervalo e a área solicitada é de fato
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx.
Passo 4
Agora precisamos calcular o integral definido. Usamos a regra da primitiva (antiderivada) para potências: para todo número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Por que isso vale? Porque, ao diferenciar \tfrac{x^{n+1}}{n+1} usando a regra do poder, obtemos
Calculemos os valores numéricos passo a passo: \;2^{4}=16\;, então \;\tfrac{2^{4}}{4}=\tfrac{16}{4}=4\;.
E \;0^{4}=0\;, então \;\tfrac{0^{4}}{4}=0\;.
Subtraindo,
\frac{2^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=4-0=4.
Passo 7
Conclusão: a área limitada pela curva \;y=x^{3}\; no intervalo \;[0,2]\; é \;4\;. Parabéns — foi direto: reconhecer que a função é não negativa e aplicar a regra da potência para achar a antiderivada resolve essa questão rapidamente na prova.