Questāo 3: Seja R a regiāo limitada pela elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, com a>b>0. Dada a função
f(x, y)=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}
calcule a integral de f(x, y) sobre R.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla de f sobre a região R. Dados do problema:
f(x,y)=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}},
a região R é o interior da elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
e temos a>b>0. A pergunta é: calcular
\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Nada mais é pedido além dessa integral sobre R.

Passo 2

Idéia e mudança de variáveis: a elipse fica mais fácil se a transformarmos numa circunferência unitária por uma escala nas coordenadas. Definimos a transformação linear
x = a u,\qquad y = b v.
Sob essa transformação, o ponto (x,y) pertence a R exatamente quando (u,v) satisfaz
u^{2}+v^{2}\le 1,
ou seja, o disco unitário D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}. Vamos reescrever a integral em (u,v).

Passo 3

Jacobiano da transformação: a matriz da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
J=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\[4pt] 0 & b \end{pmatrix}.
O determinante do jacobiano é
\det J = a b.
Portanto dA_{(x,y)} = |\det J|\,dA_{(u,v)} = a b\,du\,dv.]

Passo 4

A função fica mais simples em (u,v). Usando x=au e y=bv,
1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1-u^{2}-v^{2}.
Logo a integral original vira
\iint_{R} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}\,dA = a b \iint_{D} \sqrt{1-u^{2}-v^{2}}\,du\,dv,
onde D é o disco unitário u^{2}+v^{2}\le 1.

Passo 5

Passamos para coordenadas polares no plano (u,v): colocamos
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. O jacobiano das coordenadas polares é r, isto é du\,dv = r\,dr\,d\theta. A integrandede torna \sqrt{1-r^{2}}. Assim
a b \iint_{D} \sqrt{1-u^{2}-v^{2}}\,du\,dv = a b \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \sqrt{1-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calculamos a integral em r. Faça a substituição
t = 1-r^{2}\quad\Rightarrow\quad dt = -2r\,dr.
Quando r=0 temos t=1 e quando r=1 temos t=0. Então
\int_{0}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr = \int_{r=0}^{r=1} r\sqrt{t}\,\left(-\frac{dt}{2r}\right) = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} t^{1/2}\,dt.
Agora a integral de potência é direta:
\int_{0}^{1} t^{1/2}\,dt = \left[\frac{t^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}.
Portanto
\int_{0}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 7

Voltando para a integral completa:
a b \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \sqrt{1-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta = a b \int_{0}^{2\pi} \left(\int_{0}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr\right) d\theta = a b \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3}\,d\theta.
Integrando em \theta obtemos um fator 2\pi:
a b \cdot \frac{1}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi a b}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi a b}{3}

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