Idéia e mudança de variáveis: a elipse fica mais fácil se a transformarmos numa circunferência unitária por uma escala nas coordenadas. Definimos a transformação linear
x = a u,\qquad y = b v.
Sob essa transformação, o ponto (x,y) pertence a R exatamente quando (u,v) satisfaz
u^{2}+v^{2}\le 1,
ou seja, o disco unitário D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}. Vamos reescrever a integral em (u,v).
Passo 3
Jacobiano da transformação: a matriz da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
\iint_{R} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}\,dA = a b \iint_{D} \sqrt{1-u^{2}-v^{2}}\,du\,dv,
onde D é o disco unitário u^{2}+v^{2}\le 1.
Passo 5
Passamos para coordenadas polares no plano (u,v): colocamos
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. O jacobiano das coordenadas polares é r, isto é du\,dv = r\,dr\,d\theta. A integrandede torna \sqrt{1-r^{2}}. Assim
a b \iint_{D} \sqrt{1-u^{2}-v^{2}}\,du\,dv = a b \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \sqrt{1-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.
Passo 6
Calculamos a integral em r. Faça a substituição
t = 1-r^{2}\quad\Rightarrow\quad dt = -2r\,dr.
Quando r=0 temos t=1 e quando r=1 temos t=0. Então
a b \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \sqrt{1-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta = a b \int_{0}^{2\pi} \left(\int_{0}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr\right) d\theta = a b \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3}\,d\theta.
Integrando em \theta obtemos um fator 2\pi:
a b \cdot \frac{1}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi a b}{3}.