Determine a área da região limitada por:
y=x^{2}-9.

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a área da região limitada por: y=x^{2}-9".
Informações dadas: a função é y=x^{2}-9.
Pergunta que vamos responder: qual é a área da região fechada que essa curva limita com o eixo x (isto é, a região entre a parábola e o eixo x)? Vou assumir essa interpretação porque é a mais natural: a parábola intercepta o eixo x em pontos que fecham uma região finita.

Passo 2

Encontrar onde a parábola cruza o eixo x. Esses pontos satisfazem y=0, então resolvemos
x^{2}-9=0.
Isso é uma equação quadrática simples; somando 9 dos dois lados e extraindo raiz quadrada,
x^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 3.
Logo a curva cruza o eixo x em x=-3 e x=3. Esses dois pontos fecham a região finita entre a parábola e o eixo x.

Passo 3

Entender qual função devemos integrar para obter a área. A área entre uma curva y=f(x) e o eixo x entre x=a e x=b é
\text{Área}=\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx.Á
Aqui f(x)=x^{2}-9. No intervalo [-3,3] temos x^{2}\le 9, então x^{2}-9\le 0: a parábola fica abaixo do eixo x. Portanto |f(x)|=-(x^{2}-9)=9-x^{2} nesse intervalo. Assim a área pedida é
\text{Área}=\int_{-3}^{3} (9-x^{2})\,dx.Á

Passo 4

Explicar uma maneira prática de calcular a integral: usar simetria. A função x^{2} é par (ou seja, x^{2}=(-x)^{2}), e 9 é constante, então 9-x^{2} também é função par. Para funções pares,
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} g(x)\,dx.
Portanto
\text{Área}=2\int_{0}^{3} (9-x^{2})\,dx.Á
Isso reduz trabalho e evita sinais confusos.

Passo 5

Calcular a primitiva (antiderivada) de 9-x^{2}. Lembre que a primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, e a primitiva de uma constante c é cx. Assim:
\int (9-x^{2})\,dx = 9x - \frac{x^{3}}{3} + C.
Aqui C é a constante de integração, que não precisamos ao avaliar uma integral definida.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada. Usando a forma com simetria:
\text{Área}=2\left[\;9x-\frac{x^{3}}{3}\;\right]_{0}^{3}.Á
Agora avaliamos em x=3 e em x=0:
9\cdot 3 - \frac{3^{3}}{3} = 27 - \frac{27}{3} = 27 - 9 = 18.
No x=0 a expressão vale 0. Portanto
\text{Área}=2\cdot 18 = 36.Á

Resposta

36

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