Determine a área da região limitada por:
.
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a área da região limitada por:
".
Informações dadas: a função é .
Pergunta que vamos responder: qual é a área da região fechada que essa curva limita com o eixo (isto é, a região entre a parábola e o eixo
)? Vou assumir essa interpretação porque é a mais natural: a parábola intercepta o eixo
em pontos que fecham uma região finita.
Informações dadas: a função é
Pergunta que vamos responder: qual é a área da região fechada que essa curva limita com o eixo
Passo 2
Encontrar onde a parábola cruza o eixo
. Esses pontos satisfazem
, então resolvemos
Isso é uma equação quadrática simples; somando
dos dois lados e extraindo raiz quadrada,
Logo a curva cruza o eixo
em
e
. Esses dois pontos fecham a região finita entre a parábola e o eixo
.
Passo 3
Entender qual função devemos integrar para obter a área. A área entre uma curva
e o eixo
entre
e
é
Aqui
. No intervalo
temos
, então
: a parábola fica abaixo do eixo
. Portanto
nesse intervalo. Assim a área pedida é
Passo 4
Explicar uma maneira prática de calcular a integral: usar simetria. A função
é par (ou seja,
), e
é constante, então
também é função par. Para funções pares,
Portanto
Isso reduz trabalho e evita sinais confusos.
Passo 5
Calcular a primitiva (antiderivada) de
. Lembre que a primitiva de
é
para
, e a primitiva de uma constante
é
. Assim:
Aqui
é a constante de integração, que não precisamos ao avaliar uma integral definida.
Passo 6
Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada. Usando a forma com simetria:
Agora avaliamos em
e em
:
No
a expressão vale
. Portanto