Considere f(x)=-1 se 0<x<1, f(x)=1 se 1<x<2, f(x)=0 se x>2. Encontre \hat{f}_{c}(w).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x) por partes:
  • f(x)=-1 se 0<x<1.
  • f(x)=1 se 1<x<2.
  • f(x)=0 se x>2.
A pergunta é: encontrar \hat{f}_{c}(\omega) (a transformada de Fourier contínua de f).
Observação necessária para integrar em toda a reta: vou assumir que f(x)=0 para x\le 0 (os valores nos pontos isolados x=0,1,2 não alteram a integral). Assim a função é suportada em [0,2] com os dois intervalos indicados acima.

Passo 2

Definição da transformada de Fourier usada aqui. A transformada de Fourier no parâmetro angular \omega é dada por
\hat{f}_{c}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Explicando: \hat{f}_{c}(\omega) é uma função complexa do parâmetro real \omega; o integrando é f(x) multiplicado pela oscilação complexa e^{-i\omega x}. A integral é sobre toda a reta, mas como f é zero fora de [0,2] reduz-se a integrar apenas em [0,2].

Passo 3

Escrever a integral como soma nas duas regiões onde f é não nula:
\hat{f}_{c}(\omega)=\int_{0}^{1} (-1)\,e^{-i\omega x}\,dx+\int_{1}^{2} 1\cdot e^{-i\omega x}\,dx.
Vou calcular cada integral separadamente. Aqui é útil lembrar que, para \omega\neq 0,
\int e^{-i\omega x}\,dx=\frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega}.
(Se \omega=0 trataremos o caso à parte por limite.)

Passo 4

Calcular a primeira integral:
I_1=-\int_{0}^{1} e^{-i\omega x}\,dx = -\left[\frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega}\right]_{0}^{1} = \frac{e^{-i\omega}-1}{i\omega}.
Expliquei: aplicou-se a primitiva \dfrac{e^{-i\omega x}}{-i\omega} e avaliou-se nos limites 0 e 1, com o sinal negativo da definição de f em (0,1).

Passo 5

Calcular a segunda integral:
I_2=\int_{1}^{2} e^{-i\omega x}\,dx =\left[\frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega}\right]_{1}^{2} = -\frac{e^{-2i\omega}-e^{-i\omega}}{i\omega}.

Passo 6

Somar as duas contribuições:
\hat{f}_{c}(\omega)=I_1+I_2 =\frac{e^{-i\omega}-1}{i\omega}-\frac{e^{-2i\omega}-e^{-i\omega}}{i\omega}.
Juntando termos sobre o mesmo denominador:
\hat{f}_{c}(\omega)=\frac{2e^{-i\omega}-e^{-2i\omega}-1}{i\omega}.
Fatorizando com z=e^{-i\omega} (para ver uma forma mais elegante):
2z-z^2-1=-(z-1)^2,
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\hat{f}_{c}(\omega)=-\frac{(e^{-i\omega}-1)^2}{i\omega},\qquad (\omega\neq 0).

Passo 7

Simplificar a expressão usando identidades trigonométricas para obter uma forma mais interpretável. Usando
e^{-i\omega}-1=e^{-i\omega/2}\big(e^{-i\omega/2}-e^{i\omega/2}\big) = e^{-i\omega/2}(-2i)\sin\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big),
temos
(e^{-i\omega}-1)^2 = -4 e^{-i\omega}\sin^2\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big).
Substituindo em \hat{f}_{c}:
\hat{f}_{c}(\omega)=\frac{4\,e^{-i\omega}\sin^2\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big)}{i\omega},\qquad (\omega\neq 0).

Passo 8

Tratar o caso \omega=0 (ponto removível). Pela definição direta,
\hat{f}_{c}(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx =\int_{0}^{1}(-1)\,dx+\int_{1}^{2}1\,dx=-1+1=0.
Consistência com a expressão obtida: como \sin^2(\tfrac{\omega}{2})\sim (\tfrac{\omega}{2})^2 para pequeno \omega, a forma simplificada dá limite zero quando \omega\to 0.

Resposta

\hat{f}_{c}(\omega)=-\frac{(e^{-i\omega}-1)^2}{i\omega},\quad (\omega\neq 0)
\hat{f}_{c}(0)=0

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