Considere
se
se
se
. Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a função
por partes:
-
se . -
se . -
se .
A pergunta é: encontrar
(a transformada de Fourier contínua de
).
Observação necessária para integrar em toda a reta: vou assumir que para
(os valores nos pontos isolados
não alteram a integral). Assim a função é suportada em
com os dois intervalos indicados acima.
Observação necessária para integrar em toda a reta: vou assumir que
Passo 2
Definição da transformada de Fourier usada aqui. A transformada de Fourier no parâmetro angular
é dada por
Explicando:
é uma função complexa do parâmetro real
; o integrando é
multiplicado pela oscilação complexa
. A integral é sobre toda a reta, mas como
é zero fora de
reduz-se a integrar apenas em
.
Passo 3
Escrever a integral como soma nas duas regiões onde
é não nula:
Vou calcular cada integral separadamente. Aqui é útil lembrar que, para
,
(Se
trataremos o caso à parte por limite.)
Passo 4
Calcular a primeira integral:
Expliquei: aplicou-se a primitiva
e avaliou-se nos limites
e
, com o sinal negativo da definição de
em
.
Passo 5
Calcular a segunda integral:
Passo 6
Somar as duas contribuições:
Juntando termos sobre o mesmo denominador:
Fatorizando com
(para ver uma forma mais elegante):
logo
Passo 7
Simplificar a expressão usando identidades trigonométricas para obter uma forma mais interpretável. Usando
temos
Substituindo em
:
Passo 8
Tratar o caso
(ponto removível). Pela definição direta,
Consistência com a expressão obtida: como
para pequeno
, a forma simplificada dá limite zero quando
.