Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
; onde
é a região no primeiro quadrante limitada acima pelo círculo
e abaixo pela reta
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Região
está no primeiro quadrante. - Limites da região: acima pelo círculo
, e abaixo pela reta . - Pede-se calcular
usando mudança para coordenadas polares.
Passo 2
Entender as curvas em coordenadas polares (isso é essencial para escolher os limites). Recordando as fórmulas polares:
,
. Substituo o círculo:
Desenvolvendo e simplificando (lembre que
):
Logo
(origem) ou
Portanto a curva do círculo em polares é
.
A reta
em polares é a direção
(porque
). Também estamos no primeiro quadrante, então
fica entre
e
.
Passo 3
Descrever a região
em polares. Pelo enunciado a região está acima da reta
(ou seja, onde
) e dentro do círculo. Em termos de ângulo, "acima de
" significa
; primeiro quadrante impõe
. E dentro do círculo significa
. Assim os limites são
Passo 4
Trocar o integrando e o elemento de área para polares. Temos
e o elemento de área
(esse
é o Jacobiano da transformação polares). Então o integrando
vira
Passo 5
Escrever a integral iterada com os limites já encontrados:
Passo 6
Calcular a integral interna em
. Como
é constante em relação a
:
Calculo
, assim a expressão fica
Passo 7
Agora integrar em
:
Faço a substituição
, então
. Os limites mudam: quando
,
; quando
,
. Assim
Essa integral é direta:
Calculo
, então elevado ao quadrado dá
. Portanto a integral vale
.
Multiplicando pelo fator externo: