Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
\iint_{D} 2 y d A; onde D é a região no primeiro quadrante limitada acima pelo círculo (x-1)^{2}+y^{2}=1 e abaixo pela reta y=x.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Região D está no primeiro quadrante.
  • Limites da região: acima pelo círculo \,(x-1)^{2}+y^{2}=1, e abaixo pela reta \,y=x.
  • Pede-se calcular \displaystyle \iint_{D} 2y\,dA usando mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Entender as curvas em coordenadas polares (isso é essencial para escolher os limites). Recordando as fórmulas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Substituo o círculo:
(x-1)^{2}+y^{2}=1
\big(r\cos\theta-1\big)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=1.
Desenvolvendo e simplificando (lembre que \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1):
r^{2}-2r\cos\theta+1=1 \quad\Rightarrow\quad r^{2}-2r\cos\theta=0.
Logo r=0 (origem) ou
r=2\cos\theta.
Portanto a curva do círculo em polares é \,r=2\cos\theta.
A reta y=x em polares é a direção \theta=\pi/4 (porque \tan\theta = y/x =1\Rightarrow\theta=\pi/4). Também estamos no primeiro quadrante, então \theta fica entre 0 e \pi/2.

Passo 3

Descrever a região D em polares. Pelo enunciado a região está acima da reta y=x (ou seja, onde y\ge x) e dentro do círculo. Em termos de ângulo, "acima de y=x" significa \theta\ge\pi/4; primeiro quadrante impõe \theta\le\pi/2. E dentro do círculo significa 0\le r\le 2\cos\theta. Assim os limites são
\theta\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right],\qquad r\in[0,\,2\cos\theta].

Passo 4

Trocar o integrando e o elemento de área para polares. Temos y=r\sin\theta e o elemento de área dA=r\,dr\,d\theta (esse r é o Jacobiano da transformação polares). Então o integrando 2y\,dA vira
2\big(r\sin\theta\big)\cdot \big(r\,dr\,d\theta\big)=2r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Escrever a integral iterada com os limites já encontrados:
\iint_{D}2y\,dA=\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2\cos\theta}2r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em r. Como \sin\theta é constante em relação a r:
\int_{0}^{2\cos\theta}2r^{2}\sin\theta\,dr =2\sin\theta\int_{0}^{2\cos\theta}r^{2}\,dr =2\sin\theta\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2\cos\theta} =2\sin\theta\cdot\frac{(2\cos\theta)^{3}}{3}.
Calculo (2\cos\theta)^{3}=8\cos^{3}\theta, assim a expressão fica
\frac{16}{3}\sin\theta\cos^{3}\theta.

Passo 7

Agora integrar em \theta:
\iint_{D}2y\,dA=\frac{16}{3}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\theta\cos^{3}\theta\,d\theta.
Faço a substituição u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta. Os limites mudam: quando \theta=\pi/4, u=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}; quando \theta=\pi/2, u=0. Assim
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\theta\cos^{3}\theta\,d\theta =\int_{u=\sqrt{2}/2}^{0}(-u^{3})\,du =\int_{0}^{\sqrt{2}/2}u^{3}\,du.
Essa integral é direta:
\int_{0}^{\sqrt{2}/2}u^{3}\,du=\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}/2}=\frac{1}{4}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{4}.
Calculo \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}, então elevado ao quadrado dá \dfrac{1}{4}. Portanto a integral vale \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}.
Multiplicando pelo fator externo:
\iint_{D}2y\,dA=\frac{16}{3}\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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