Calcule a integral dupla.
; onde
é a região limitada por
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região limitada por
,
e
.
Informações dadas:
- Curva 1:
. - Curva 2:
. - Curva 3:
. - A região
é a região fechada limitada por essas três curvas (ou seja, a fronteira de é formada por esses três arcos/segmentos).
O que se pede:
- Calcular o valor numérico de
.
Passo 2
Primeiro vamos localizar os pontos de interseção entre as curvas — isso define claramente a forma de
.
Interseção entre
e
: resolver
dá
. Ponto:
.
Interseção entre
e
: resolver
dá
. Ponto:
.
Interseção entre
e
: resolver
Colocando
(logo
) obtemos
Fatorando,
, a solução positiva é
. Então
e
. Ponto:
.
Portanto os pontos que fecham a região são
,
e
.
Passo 3
Agora entendemos a geometria: a fronteira vai de
subindo pela curva
até
, depois segue pela reta
até
e retorna por
a
. Para montar a integral em coordenadas
(ou
) é mais simples usar
como iterada interna em
e externa em
, dividindo
em dois intervalos porque o “topo” da região muda em
.
Precisamos comparar qual curva é o teto da região para cada
:
- Para
: escolher dá e , então . Logo, para a parte superior é e a inferior é . - Para
: escolher dá e , então . Logo, para a parte superior é e a inferior é .
Assim podemos dividir a integral em duas integrais iteradas em
:
Passo 4
Explico a ideia da integral iterada usada: ao integrar uma função
sobre a região
por “slice” vertical, para cada
fixo integramos em
entre a fronteira inferior e superior naquele
, e depois somamos essas contribuições variando
. Aqui a variável de integração interna é
e a externa é
. Para o integrando
, ao integrar em
com
tratado como constante, usamos a primitiva
onde
é constante em relação a
.
Passo 5
Calcular a primeira integral (para
):
Agora a primitiva de
é
, logo
Passo 6
Calcular a segunda integral (para
):
Expandimos o quadrado:
portanto
Logo
Integramos termo a termo:
Portanto a primitiva é
. Avaliando de
a
:
Calculando cada parte:
soma em
:
.
Para
:
soma em
:
.
Diferença:
. Lembrando do fator
multiplicando a integral, obtemos
Passo 7
Somando as duas partes obtidas: