Calcule a integral dupla.
\iint_{D} x y d A; onde D é a região limitada por y=\sqrt{x}, y=6-x e y=0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} x y\, dA,
onde D é a região limitada por y=\sqrt{x}, y=6-x e y=0.
Informações dadas:
  • Curva 1: y=\sqrt{x}.
  • Curva 2: y=6-x.
  • Curva 3: y=0.
  • A região D é a região fechada limitada por essas três curvas (ou seja, a fronteira de D é formada por esses três arcos/segmentos).
O que se pede:
  • Calcular o valor numérico de \iint_{D} x y\, dA.

Passo 2

Primeiro vamos localizar os pontos de interseção entre as curvas — isso define claramente a forma de D.
Interseção entre y=\sqrt{x} e y=0: resolver \sqrt{x}=0 x=0. Ponto: (0,0).
Interseção entre y=6-x e y=0: resolver 6-x=0 x=6. Ponto: (6,0).
Interseção entre y=\sqrt{x} e y=6-x: resolver
\sqrt{x}=6-x.
Colocando t=\sqrt{x} (logo x=t^2) obtemos
t = 6 - t^2 \quad\Rightarrow\quad t^2 + t - 6 = 0.
Fatorando, (t+3)(t-2)=0, a solução positiva é t=2. Então x=t^2=4 e y=2. Ponto: (4,2).
Portanto os pontos que fecham a região são (0,0), (4,2) e (6,0).

Passo 3

Agora entendemos a geometria: a fronteira vai de (0,0) subindo pela curva y=\sqrt{x} até (4,2), depois segue pela reta y=6-x até (6,0) e retorna por y=0 a (0,0). Para montar a integral em coordenadas dx\,dy (ou dy\,dx) é mais simples usar dy\,dx como iterada interna em y e externa em x, dividindo x em dois intervalos porque o “topo” da região muda em x=4.
Precisamos comparar qual curva é o teto da região para cada x:
  • Para 0\le x\le 4: escolher x=1 \sqrt{1}=1 e 6-1=5, então \sqrt{x}\le 6-x. Logo, para x\in[0,4] a parte superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=0.
  • Para 4\le x\le 6: escolher x=5 \sqrt{5}\approx2,236 e 6-5=1, então 6-x\le\sqrt{x}. Logo, para x\in[4,6] a parte superior é y=6-x e a inferior é y=0.
Assim podemos dividir a integral em duas integrais iteradas em x:
\iint_{D} x y\, dA = \int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{x}} x y\, dy\right)dx + \int_{x=4}^{6}\left(\int_{y=0}^{6-x} x y\, dy\right)dx.

Passo 4

Explico a ideia da integral iterada usada: ao integrar uma função f(x,y) sobre a região D por “slice” vertical, para cada x fixo integramos em y entre a fronteira inferior e superior naquele x, e depois somamos essas contribuições variando x. Aqui a variável de integração interna é y e a externa é x. Para o integrando x y, ao integrar em y com x tratado como constante, usamos a primitiva
\int x y\, dy = x\int y\, dy = x\cdot\frac{y^2}{2} = \frac{x y^2}{2},
onde x é constante em relação a y.

Passo 5

Calcular a primeira integral (para x\in[0,4]):
\int_{0}^{4}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} x y\, dy\right)dx = \int_{0}^{4} \frac{x (\sqrt{x})^2}{2}\, dx = \int_{0}^{4} \frac{x\cdot x}{2}\, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} x^2\, dx.
Agora a primitiva de x^2 é x^3/3, logo
\frac{1}{2}\int_{0}^{4} x^2\, dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{4^3}{3} = \frac{1}{2}\cdot\frac{64}{3} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}.

Passo 6

Calcular a segunda integral (para x\in[4,6]):
\int_{4}^{6}\left(\int_{0}^{6-x} x y\, dy\right)dx = \int_{4}^{6} \frac{x(6-x)^2}{2}\, dx = \frac{1}{2}\int_{4}^{6} x(6-x)^2\, dx.
Expandimos o quadrado:
(6-x)^2 = 36 -12x + x^2,
portanto
x(6-x)^2 = x(36 -12x + x^2) = 36x -12x^2 + x^3.
Logo
\frac{1}{2}\int_{4}^{6} (36x -12x^2 + x^3)\, dx.
Integramos termo a termo:
\int (36x)\,dx = 18x^2,\qquad \int (-12x^2)\,dx = -4x^3,\qquad \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}.
Portanto a primitiva é 18x^2 -4x^3 + \dfrac{x^4}{4}. Avaliando de 4 a 6:
\left[18x^2 -4x^3 + \frac{x^4}{4}\right]_{4}^{6} = \big(18\cdot6^2 -4\cdot6^3 + \tfrac{6^4}{4}\big) - \big(18\cdot4^2 -4\cdot4^3 + \tfrac{4^4}{4}\big).
Calculando cada parte:
18\cdot6^2 = 18\cdot36 = 648, \quad -4\cdot6^3 = -4\cdot216 = -864, \quad \frac{6^4}{4} = \frac{1296}{4} = 324,
soma em x=6: 648 -864 +324 = 108.
Para x=4:
18\cdot4^2 = 18\cdot16 = 288, \quad -4\cdot4^3 = -4\cdot64 = -256, \quad \frac{4^4}{4} = \frac{256}{4} = 64,
soma em x=4: 288 -256 +64 = 96.
Diferença: 108-96 = 12. Lembrando do fator \tfrac{1}{2} multiplicando a integral, obtemos
\frac{1}{2}\cdot 12 = 6.

Passo 7

Somando as duas partes obtidas:
\iint_{D} x y\, dA = \frac{32}{3} + 6 = \frac{32}{3} + \frac{18}{3} = \frac{50}{3}.

Resposta

\dfrac{50}{3}

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