Considere f(x)=raiz3 x+1, x>0. Utilize a definição de derivada em x=1 para calcular f^prime(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função para . A tarefa é calcular a derivada dessa função no ponto usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicá-la passo a passo nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, lembra que a definição de derivada de uma função f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h no ponto f'(1) = limh to 0 f(1 + h) - f(1)h é dada por:
Aqui, nosso é 1, então vamos substituir na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular f(1 + h) = raiz3(1 + h) + 1 = raiz3 + 3h + 1 = raiz4 + 3h :
E sabemos que .

Passo 4

Substituindo esses valores na definição da derivada:
f'(1) = limh to 0 raiz4 + 3h - 2h
Esse limite ainda está um pouco complicado, então vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Para simplificar, a gente vai “racionalizar” o numerador. Isso significa multiplicar e dividir a fração por f'(1) = limh to 0 raiz4 + 3h - 2h cdot raiz4 + 3h + 2raiz4 + 3h + 2 = limh to 0 (4 + 3h) - 4h(raiz4 + 3h + 2) , para eliminar a raiz no numerador:
f'(1) = limh to 0 3hh(raiz4 + 3h + 2) = limh to 0 3raiz4 + 3h + 2
O numerador simplifica para , então fica:

Passo 6

Agora, com a expressão mais simples, podemos substituir f'(1) = 3raiz4 + 0 + 2 = 32 + 2 = 34 por 0:

Resposta

A derivada de f'(1) = 34 em é:

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