Considere
. Utilize a definição de derivada em
para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
para
. A tarefa é calcular a derivada dessa função no ponto
usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicá-la passo a passo nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, lembra que a definição de derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Aqui, nosso
é 1, então vamos substituir na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
E sabemos que
.
Passo 4
Substituindo esses valores na definição da derivada:
Esse limite ainda está um pouco complicado, então vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Para simplificar, a gente vai “racionalizar” o numerador. Isso significa multiplicar e dividir a fração por
, para eliminar a raiz no numerador:
O numerador simplifica para
, então fica:
Passo 6
Agora, com a expressão mais simples, podemos substituir
por 0:
Resposta
A derivada de
em
é: