Considere
. Encontre:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa encontrar
. Isso envolve derivadas de séries infinitas, então vamos precisar saber sobre derivação de séries e convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função que é representada por uma série infinita pode ser obtida derivando termo a termo, desde que a série seja convergente em algum intervalo. Isso significa que podemos derivar cada termo da soma individualmente.
Passo 3
Vamos derivar
termo a termo:
A derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, que significa a derivada de
. Vamos derivar novamente a série que encontramos:
A derivada de
é
, então:
Passo 5
Para simplificar, vamos ajustar o índice da soma substituindo
por
, onde
:
Isso facilita a análise da série para possíveis simplificações ou reconhecimento de padrões conhecidos.
Passo 6
No entanto, essa série não se simplifica facilmente para uma expressão fechada simples. Portanto, a derivada segunda de
, que é
, permanece representada pela série:
Resposta
A derivada
é dada por: