Considere
. Encontre:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar
, que é a integral de
de 0 até
. Temos que
. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e integração de séries. Vamos precisar entender como integrar cada termo dessa série individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que podemos integrar uma série termo a termo, desde que a série convirja no intervalo considerado. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem da soma e da integral. Isso é permitido quando a série converge uniformemente. Assim, temos:
Passo 4
Vamos integrar cada termo da série. A integral de
em relação a
é
. Aplicando isso, obtemos:
Passo 5
Para simplificar a expressão, podemos fazer uma mudança de índice. Vamos substituir
, o que transforma a soma em:
Resposta
Portanto, a função
é dada por: