Considere f(x)=sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2. Encontre: h(x)=integral0^x f(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar , que é a integral de de 0 até . Temos que . Aqui, estamos lidando com séries infinitas e integração de séries. Vamos precisar entender como integrar cada termo dessa série individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que podemos integrar uma série termo a termo, desde que a série convirja no intervalo considerado. Então, podemos escrever:
h(x) = integral0^x f(t) , dt = integral0^x sumn=0^infty t^n+1(n+1)^2 , dt

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem da soma e da integral. Isso é permitido quando a série converge uniformemente. Assim, temos:
h(x) = sumn=0^infty integral0^x t^n+1(n+1)^2 , dt

Passo 4

Vamos integrar cada termo da série. A integral de h(x) = sumn=0^infty x^n+2(n+1)^2(n+2) em relação a é . Aplicando isso, obtemos:

Passo 5

Para simplificar a expressão, podemos fazer uma mudança de índice. Vamos substituir h(x) = summ=1^infty x^m+1m^2(m+1) , o que transforma a soma em:

Resposta

Portanto, a função h(x) = summ=1^infty x^m+1m^2(m+1) é dada por:

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