Seja f(z) = e^(2 * z + i). Obter o módulo de f(z) e investigar se a função é derivável e se for o caso obter a sua regra de derivação.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o módulo da função e verificar se essa função é derivável. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções complexas, cálculo do módulo de uma função complexa e as condições de derivabilidade segundo as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo de . Sabemos que o módulo de uma função exponencial complexa é dado por , onde representa a parte real de .
No nosso caso, temos:
Vamos expressar em termos de suas partes reais e imaginárias. Seja , onde e são números reais. Então:
Substituindo na expressão de :
A parte real de é . Portanto, o módulo de é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é derivável. Para isso, utilizamos as condições de Cauchy-Riemann, que são necessárias para que uma função seja holomorfa (ou seja, derivável no sentido complexo).
Primeiramente, escrevemos na forma :
Assim, temos:
As equações de Cauchy-Riemann exigem que:
Calculando as derivadas parciais:
Comparando as equações de Cauchy-Riemann:
Como as igualdades não são satisfeitas, concluímos que as condições de Cauchy-Riemann não são atendidas.

Resposta

O módulo de é . Além disso, a função não é derivável no sentido complexo.

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