Considere
se
e
se
. Sabendo que
é contínua, determine o valor de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
- Para $ x \leq 4 $, $ f(x) = x^{2} - 3x + 1 $
- Para $ x > 4 $, $ f(x) = k \sqrt{2x + 1} $
A questão nos pede para encontrar o valor de $ k $ que faz a função $ f $ ser contínua. Ou seja, a função não pode ter “saltos” no ponto onde muda a definição, que aqui é $ x = 4 $. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de função, que basicamente diz que o limite da função pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite pelo lado direito no ponto de transição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(4) $ usando a primeira parte da função, já que $ x = 4 $ está incluído nessa parte.
Calculando isso:
Passo 3
Agora, para garantir a continuidade, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 4 pela direita (ou seja, $ x > 4 $) precisa ser igual a 5.
Então, vamos escrever essa condição:
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Substituindo $ x = 4 $:
Então:
Passo 5
Agora, para encontrar $ k $, basta isolar essa variável:
Resposta
O valor de $ k $ que garante a continuidade da função é $ k = \frac{5}{3} $.