Considere f(x)=x^2-3 x+1 se x <= 4 e f(x)=k raiz2 x+1 se x>4. Sabendo que f é contínua, determine o valor de k:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
  • Para $ x \leq 4 $, $ f(x) = x^{2} - 3x + 1 $
  • Para $ x > 4 $, $ f(x) = k \sqrt{2x + 1} $
A questão nos pede para encontrar o valor de $ k $ que faz a função $ f $ ser contínua. Ou seja, a função não pode ter “saltos” no ponto onde muda a definição, que aqui é $ x = 4 $. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de função, que basicamente diz que o limite da função pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite pelo lado direito no ponto de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(4) $ usando a primeira parte da função, já que $ x = 4 $ está incluído nessa parte.
f(4)
Calculando isso:
x = 4

Passo 3

Agora, para garantir a continuidade, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 4 pela direita (ou seja, $ x > 4 $) precisa ser igual a 5.
Então, vamos escrever essa condição:
f(x)

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Substituindo $ x = 4 $:
x = 4
Então:
k raiz2 times 4 + 1 = k raiz9 = k times 3

Passo 5

Agora, para encontrar $ k $, basta isolar essa variável:
k

Resposta

O valor de $ k $ que garante a continuidade da função é $ k = \frac{5}{3} $.

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