(1.5) Considere f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right).
a) Determine o domínio de f.
b) Calcule f_{x x} \mathrm{e} f_{y x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big) e pede duas coisas:
a) Determinar o domínio de f.
b) Calcular as segundas derivadas parciais f_{x x} e f_{y x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é o logaritmo natural da expressão x^{2}+y^{2}.
  • Não foram dadas restrições adicionais, portanto trabalhar com (x,y) em \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Entender o que o logaritmo exige: a função \ln(t) está definida somente para t>0. Aqui o argumento é t=x^{2}+y^{2}. Então a condição para que f esteja definida é
x^{2}+y^{2}>0.
Quando é que x^{2}+y^{2}=0? Isso ocorre apenas em (x,y)=(0,0). Portanto a desigualdade x^{2}+y^{2}>0 é satisfeita por todos os pontos de \mathbb{R}^{2} exceto a origem. Conclusão do item (a):
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Passo 3

Para calcular as derivadas parciais precisamos de uma regra básica: se g(u)=\ln(u) então g'(u)=1/u. Aplicando a regra da cadeia, se u(x,y)=x^{2}+y^{2} então
\frac{\partial}{\partial x}\ln(u(x,y))=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui \frac{\partial u}{\partial x}=2x. Logo a derivada parcial de primeira ordem em x é
f_{x}(x,y)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
De forma análoga, como \frac{\partial u}{\partial y}=2y, obtemos
f_{y}(x,y)=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
(Isto é apenas aplicar a regra da cadeia com u=x^{2}+y^{2}.)

Passo 4

Agora vamos calcular f_{x x}, ou seja, a derivada parcial de f_{x} em relação a x. Temos
f_{x}(x,y)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
Para derivar uma razão podemos usar a regra do quociente: se h(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
h'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.
Aqui, com y visto como constante, p(x)=2x e q(x)=x^{2}+y^{2}. Calculando as derivadas:
p'(x)=2,\qquad q'(x)=2x.
Aplicando a regra do quociente:
f_{x x}(x,y)=\frac{2\big(x^{2}+y^{2}\big)-2x\cdot(2x)}{\big(x^{2}+y^{2}\big)^{2}}.
Desenvolvendo o numerador:
2\big(x^{2}+y^{2}\big)-4x^{2}=2x^{2}+2y^{2}-4x^{2}=2(y^{2}-x^{2}).
Portanto
f_{x x}(x,y)=\frac{2\big(y^{2}-x^{2}\big)}{\big(x^{2}+y^{2}\big)^{2}}.

Passo 5

Agora calculamos f_{y x}: deriva-se f_{x}(x,y)=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}} em relação a y. Novamente usamos a regra do quociente, mas agora derivando em y (com x constante). Tome p(y)=2x (constante em y) e q(y)=x^{2}+y^{2}, então
p'(y)=0,\qquad q'(y)=2y.
Aplicando a regra do quociente:
f_{y x}(x,y)=\frac{0\cdot q(y)-p(y)\cdot q'(y)}{q(y)^{2}}=-\frac{2x\cdot 2y}{\big(x^{2}+y^{2}\big)^{2}}.
Simplificando:
f_{y x}(x,y)=-\frac{4xy}{\big(x^{2}+y^{2}\big)^{2}}.

Passo 6

Breve observação útil para a prova (sem cálculos adicionais): a função f é infinitamente diferenciável em todo ponto do domínio \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Pelo teorema de Clairaut, as derivadas mistas f_{y x} e f_{x y} coincidem nesse domínio; pode-se verificar facilmente que derivando f_{y} em x obtém-se o mesmo valor -\dfrac{4xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Resposta

a) \text{Dom}(f)=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}
b) f_{x x}(x,y)=\frac{2\big(y^{2}-x^{2}\big)}{\big(x^{2}+y^{2}\big)^{2}}
f_{y x}(x,y)=-\frac{4xy}{\big(x^{2}+y^{2}\big)^{2}}

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