(1.5) Considere
.
a) Determine o domínio de
.
b) Calcule
a) Determine o domínio de
b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
a) Determinar o domínio de .
b) Calcular as segundas derivadas parciais e
.
a) Determinar o domínio de
b) Calcular as segundas derivadas parciais
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é o logaritmo natural da expressão
. - Não foram dadas restrições adicionais, portanto trabalhar com
em .
Passo 2
Entender o que o logaritmo exige: a função
está definida somente para
. Aqui o argumento é
. Então a condição para que
esteja definida é
Quando é que
? Isso ocorre apenas em
. Portanto a desigualdade
é satisfeita por todos os pontos de
exceto a origem. Conclusão do item (a):
Passo 3
Para calcular as derivadas parciais precisamos de uma regra básica: se
então
. Aplicando a regra da cadeia, se
então
Aqui
. Logo a derivada parcial de primeira ordem em
é
De forma análoga, como
, obtemos
(Isto é apenas aplicar a regra da cadeia com
.)
Passo 4
Agora vamos calcular
, ou seja, a derivada parcial de
em relação a
. Temos
Para derivar uma razão podemos usar a regra do quociente: se
então
Aqui, com
visto como constante,
e
. Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Desenvolvendo o numerador:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos
: deriva-se
em relação a
. Novamente usamos a regra do quociente, mas agora derivando em
(com
constante). Tome
(constante em
) e
, então
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Breve observação útil para a prova (sem cálculos adicionais): a função
é infinitamente diferenciável em todo ponto do domínio
. Pelo teorema de Clairaut, as derivadas mistas
e
coincidem nesse domínio; pode-se verificar facilmente que derivando
em
obtém-se o mesmo valor
.
Resposta
a)
b)