Um sistema massa-mola sem amortecimento está inicialmente em repouso e é submetido a uma força externa que atua apenas durante um intervalo de tempo finito. Após um certo instante, essa força é completamente desligada. Sabe-se que a força atua apenas no intervalo 0 \leq t<\pi e que ela tem a intensidade sen (t). Após o desligamento, o sistema passa a evoluir livremente. A posição y(t) do sistema satisfaz a equação:
(a) Modele de forma conveniente a força aplicada no sistema utilizando a função degrau.
(b) Escreva o PVI completo.
(c) Resolva o problema utilizando a Transformada de Laplace.
(d) Descreva qualitativamente o comportamento da solução para t \geq \pi.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo em função do tempo t):
Dado: o sistema massa-mola sem amortecimento satisfaz a equação
y''(t)+y(t)=\text{força aplicada},
e a força aplicada tem intensidade \sin(t) apenas no intervalo 0\le t<\pi; depois de t=\pi a força é zero. O sistema está inicialmente em repouso (isso significa que as condições iniciais serão dadas).
Perguntas:
(a) Modelar a força aplicada usando a função degrau (Heaviside).
(b) Escrever o problema de valor inicial (PVI) completo, com condições iniciais.
(c) Resolver o PVI usando a Transformada de Laplace, passo a passo.
(d) Descrever qualitativamente o comportamento da solução para t\ge\pi.
As informações numéricas relevantes extraídas do enunciado:
Força: \sin(t) para 0\le t<\pi, e 0 para t\ge\pi.
Condições iniciais (“inicialmente em repouso”): \;y(0)=0 e \;y'(0)=0.
Passo 2
(a) Modelagem da força com a função degrau.
Explicação rápida da função degrau: a função degrau \,u(t-a)\, (também escrita H(t-a)) vale 0 para t<a e vale 1 para t\ge a. Para representar uma função que é ativa apenas entre t=a e t=b usamos \,u(t-a)-u(t-b)\,, que vale 1 em a\le t<b e 0 fora.
Aplicando isso ao nosso caso (força \sin t em 0\le t<\pi e 0 depois), obtemos:
\text{força}(t)=\sin(t)\bigl[u(t)-u(t-\pi)\bigr].
Comentário intuitivo: \sin(t)u(t) garante que a função é zero para t<0; subtrair \sin(t)u(t-\pi) “desliga” a força a partir de t=\pi.
Passo 3
(b) PVI completo.
Escrevendo a equação com a força modelada e as condições iniciais (o enunciado disse “inicialmente em repouso”):
portanto \sin t\,u(t-\pi)=-\sin(t-\pi)u(t-\pi). Agora aplicamos o teorema do deslocamento no tempo: se g(t)=\sin t e G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s)=\dfrac{1}{s^2+1}, então
Primeiro termo: \dfrac{1}{(s^2+1)^2}. Usamos a propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}F(s). Com F(s)=\mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^2+1} temos
logo y é contínua em t=\pi. As derivadas também conferem continuidade (cheque rápido dá y'(\pi^-)=0 e y'(\pi^+)=0).]
Passo 5
(d) Interpretação qualitativa para t\ge\pi.
Depois que a força é desligada (t\ge\pi), o sistema é livre (sem amortecimento), logo a solução é combinação da solução homogênea A\cos t+B\sin t. Encontramos explicitamente
Isso significa oscilação harmônica simples de frequência natural 1 (no nosso sistema as unidades foram escolhidas de modo que a frequência angular é 1), sem amortecimento, com amplitude \dfrac{\pi}{2} e fase tal que o movimento é proporcional a -\cos t.
Fisicamente: a força aplicada nos primeiros \pi segundos deixou o sistema com deslocamento e velocidade tais que, a partir de t=\pi, o sistema oscila livremente com amplitude constante \pi/2 (não há perda de energia porque não há amortecimento).
(d) Para t\ge\pi o sistema oscila livremente com frequência angular 1, sem amortecimento, numa oscilação harmônica simples de amplitude \dfrac{\pi}{2}: \;y(t)=-\dfrac{\pi}{2}\cos t.]