Um circuito RLC série - Resistência, Indutância e Capacitância - está inicialmente em repouso, isto é, não há carga ( q(t) ) no capacitor nem corrente ( \frac{d q}{d t}(t) ) no circuito. Em um experimento, um dispositivo é acionado no instante t=2 segundos, provocando uma descarga elétrica extremamente rápida no circuito. Esse evento é tão breve que pode ser considerado instantâneo, mas suficientemente intenso para gerar uma resposta imediata no sistema. Após esse instante, nenhuma outra fonte atua no circuito. A carga q(t) no capacitor satisfaz a equação a seguir, onde R, L e C são constantes positivas:
L q^{\prime \prime}(t)+R q^{\prime}(t)+\frac{1}{C} q(t)=\text { força aplicada. }ç
(a) Modele a força aplicada no circuito e escreva o PVI completo.
(b) Resolva o problema utilizando a Transformada de Laplace e os valores L=1, R=2 e C=1.
(c) Descreva qualitativamente o efeito do evento ocorrido em t=2 sobre a corrente no circuito.
(d) Discuta o que acontece com a continuidade de q(t) e q^{\prime}(t) no instante do evento.

Passo 1

Vou deixar clarinho o que o enunciado pede e quais informações temos (peguei tudo do enunciado). Perguntas:
(a) Modelar a “força aplicada” e escrever o PVI completo (a equação diferencial com condição inicial).
(b) Resolver o PVI usando Transformada de Laplace com L=1,\;R=2,\;C=1.
(c) Descrever qualitativamente o efeito do evento em t=2 sobre a corrente no circuito.
(d) Discutir a continuidade de q(t) e q'(t) no instante do evento.
Informações dadas:
  • O circuito é série RLC com constantes positivas R,L,C.
  • A equação diferencial é
L q^{\prime\prime}(t)+R q^{\prime}(t)+\frac{1}{C}q(t)=\text{força aplicada}.ç
  • O circuito está inicialmente em repouso: não há carga nem corrente em t=0. Portanto as condições iniciais são
q(0)=0,\qquad q'(0)=0.
  • Em t=2 s ocorre uma descarga extremamente breve (praticamente instantânea) e depois não há mais fontes. Esse evento é modelado como um estímulo concentrado em tempo.

Passo 2

Modelagem da força aplicada (a ideia física e a escolha matemática).
  • Uma descarga elétrica muito breve e intensa concentrada num instante é modelada, na matemática de sistemas lineares, por uma delta de Dirac deslocada no tempo: a função \delta(t-2). Essa função tem área finita igual a 1 e representa um impulso concentrado em t=2.
  • A descarga pode ter uma intensidade (área) arbitrária; chamo essa área de A\in\mathbb{R} (no SI, A tem unidades compatíveis com Lq''). Então a força aplicada é
A\,\delta(t-2).
  • Assim o PVI completo (para t\ge0) é
L q^{\prime\prime}(t)+R q^{\prime}(t)+\frac{1}{C}q(t)=A\,\delta(t-2),
com condições iniciais
q(0)=0,\qquad q'(0)=0.
(Isto responde o item (a).)

Passo 3

Breve aula sobre transformada de Laplace e propriedades que vou usar (não pula etapas).
  • Definição: para uma função causal f(t) (nula para t<0), a Transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Propriedades essenciais aqui:
    1. Linearidade: \mathcal{L}\{af+bg\}=aF+ bG.
    2. Derivadas: \mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0) e \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^{2}F(s)-s f(0)-f'(0).
    3. Delta deslocado: \mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-a s} para a\ge0.
    4. Teorema do deslocamento no tempo (para inverter): se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s) então \mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-a s}G(s), onde u é o degrau de Heaviside.
  • Também preciso saber transformada inversa conhecida: \mathcal{L}\{t e^{-t}\}=\dfrac{1}{(s+1)^2}. Vou usar isso explicitamente mais adiante.

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace ao PVI com L=1,\;R=2,\;C=1.
  • Com esses valores a equação fica
q''(t)+2q'(t)+q(t)=A\,\delta(t-2),
e condições q(0)=0,\;q'(0)=0.
  • Tomando Laplace de ambos os lados e usando as fórmulas para derivadas e para a delta, obtemos (escrevo Q(s)=\mathcal{L}\{q\}(s)):
\mathcal{L}\{q''\}+2\mathcal{L}\{q'\}+\mathcal{L}\{q\}=A\,\mathcal{L}\{\delta(t-2)\}.
Substituindo as expressões:
\bigl(s^{2}Q(s)-s q(0)-q'(0)\bigr)+2\bigl(sQ(s)-q(0)\bigr)+Q(s)=A e^{-2s}.
  • Como q(0)=0 e q'(0)=0, isso simplifica bastante:
\bigl(s^{2}+2s+1\bigr)Q(s)=A e^{-2s}.
  • Note que s^{2}+2s+1=(s+1)^{2}. Portanto
Q(s)=\frac{A e^{-2s}}{(s+1)^{2}}.

Passo 5

Inversão da Transformada de Laplace usando o teorema do deslocamento no tempo.
  • Reconhecemos que
\frac{1}{(s+1)^{2}}=\mathcal{L}\{t e^{-t}\}(s).
  • Assim Q(s)=A e^{-2s}\cdot \dfrac{1}{(s+1)^2}\) é da forma \(e^{-2s}G(s)\) com \(G(s)=\dfrac{A}{(s+1)^2}\). Pelo teorema do deslocamento no tempo, a inversa é \[q(t)=u(t-2)\, g(t-2),
onde g(\tau)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(\tau)=A\,\tau e^{-\tau}.
  • Substituindo \tau=t-2, obtemos a solução em forma de peça:
q(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<2,\\[4pt] A\,(t-2)\,e^{-(t-2)}, & t\ge 2. \end{cases}
  • Em notação com o degrau u\]: \[q(t)=A\,u(t-2)\,(t-2)\,e^{-(t-2)}.\] (Isto responde o item (b) — a solução está expressa em termos da intensidade \(A do impulso.)]

Passo 6

Cálculo da corrente i(t)=q'(t)\) para descrever o efeito do impulso (item \text{(c)}). - Para \(t<2\) temos \(q(t)=0\Rightarrow q'(t)=0\). Ou seja, antes da descarga não há corrente. - Para \(t>2\), posso derivar \(q(t)=A (t-2)e^{-(t-2)}\). Faço a derivada passo a passo: - Seja \(s=t-2\). Então \(q=A s e^{-s}\). Derivando em relação a \(t\) (com \(ds/dt=1\)): \[q'(t)=A\frac{d}{ds}\bigl(s e^{-s}\bigr)=A\bigl(e^{-s}-s e^{-s}\bigr)=A e^{-(t-2)}\bigl(1-(t-2)\bigr).
  • Assim a corrente é
i(t)=q'(t)=\begin{cases} 0, & t<2,\\[4pt] A e^{-(t-2)}\bigl(1-(t-2)\bigr), & t>2. \end{cases}
  • Avaliando o comportamento logo após o impulso: em t=2^+\] temos \(i(2^+)=A. Logo a descarga gera uma subida instantânea da corrente de 0 para A no instante imediatamente após t=2.
  • Qualitativamente: com R=2,L=1,C=1 o sistema é criticamente amortecido (o polinômio característico (s+1)^2 tem raiz dupla real -1). Portanto, após o impulso a corrente não oscila; ela salta para um valor A em t=2^+ e depois decai monotonamente exponencialmente (com perfil de um pico que decresce) para zero, sem oscilações. Em palavras mais amigáveis: a descarga dá um “empurrão” instantâneo na corrente que depois é absorvido pelo circuito de forma amortecida.]

Passo 7

Discussão matemática da continuidade de q(t) e q'(t) no instante do evento (item (d)).
  • Regra geral: um impulso \delta(t-a) no segundo membro de uma equação do tipo L q''+\cdots = A\delta(t-a) causa um salto na derivada primeira proporcional a A/L, enquanto a própria q permanece contínua.
  • Demonstração por integração da equação sobre um intervalo pequeno em torno de t=2. Integre de 2^{-} a 2^{+}:
\int_{2^-}^{2^+} \bigl(L q''(t)+R q'(t)+\tfrac{1}{C}q(t)\bigr)\,dt = \int_{2^-}^{2^+} A\,\delta(t-2)\,dt.
  • O lado direito dá A. No lado esquerdo, quando o intervalo encolhe a zero, os termos com q' e q são finitos (multiplicados por intervalo) e tendem a zero, enquanto
\int_{2^-}^{2^+} L q''(t)\,dt = L\bigl(q'(2^+)-q'(2^-)\bigr).
  • Assim
L\bigl(q'(2^+)-q'(2^-)\bigr)=A.
  • Como antes do impulso q'(2^-)=0 (o circuito estava em repouso e nenhuma outra fonte atuou antes de t=2), obtemos
q'(2^+)=\frac{A}{L}.
  • Portanto q(t) é contínua em t=2 (não há salto em q porque delta integra para um salto na derivada, não na função), enquanto q'(t) tem salto igual a A/L. No caso numérico L=1 isso dá salto q'(2^+)-q'(2^-)=A, que bate com o cálculo direto da solução (onde q'(2^+)=A).

Passo 8

Resumo rápido e incentivo (pequeno empurrão final).
  • Recapitulando: modelamos a descarga por A\delta(t-2), resolvemos por Laplace e obtivemos q(t)=A\,u(t-2)(t-2)e^{-(t-2)}; a corrente salta instantaneamente para A em t=2 e depois decai sem oscilar (caso criticamente amortecido).
    Força um passo de cada vez: se quiser, eu faço o mesmo processo com um valor numérico para A (por exemplo A=1) para ver gráficos ou valores numéricos na prova — isso facilita conferir cálculos rápido.

Resposta

(a) \;L q''(t)+R q'(t)+\dfrac{1}{C}q(t)=A\,\delta(t-2),\quad q(0)=0,\;q'(0)=0.\) (b) \(\;q(t)=A\,u(t-2)\,(t-2)\,e^{-(t-2)}=\begin{cases}0,&t<2,\\[4pt]A(t-2)e^{-(t-2)},&t\ge2,\end{cases} onde A é a intensidade do impulso.
(c) A descarga em t=2 produz um salto instantâneo na corrente: i(t)=q'(t)=0 para t<2 e i(2^+)=A; depois a corrente decai monotonicamente para zero (o sistema com L=1,R=2,C=1 é criticamente amortecido, logo não há oscilações).
(d) q(t) é contínua em t=2. Já q'(t) tem descontinuidade (salto) em t=2 dado por q'(2^+)-q'(2^-)=\dfrac{A}{L} (no caso L=1 o salto vale A).]

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