Um circuito RLC série - Resistência, Indutância e Capacitância - está inicialmente em repouso, isto é, não há carga (
) no capacitor nem corrente (
) no circuito. Em um experimento, um dispositivo é acionado no instante
segundos, provocando uma descarga elétrica extremamente rápida no circuito. Esse evento é tão breve que pode ser considerado instantâneo, mas suficientemente intenso para gerar uma resposta imediata no sistema. Após esse instante, nenhuma outra fonte atua no circuito. A carga
no capacitor satisfaz a equação a seguir, onde
e
são constantes positivas:
(a) Modele a força aplicada no circuito e escreva o PVI completo.
(b) Resolva o problema utilizando a Transformada de Laplace e os valores
e
.
(c) Descreva qualitativamente o efeito do evento ocorrido em
sobre a corrente no circuito.
(d) Discuta o que acontece com a continuidade de
e
no instante do evento.
(b) Resolva o problema utilizando a Transformada de Laplace e os valores
(c) Descreva qualitativamente o efeito do evento ocorrido em
(d) Discuta o que acontece com a continuidade de
Passo 1
Vou deixar clarinho o que o enunciado pede e quais informações temos (peguei tudo do enunciado). Perguntas:
(a) Modelar a “força aplicada” e escrever o PVI completo (a equação diferencial com condição inicial).
(b) Resolver o PVI usando Transformada de Laplace com .
(c) Descrever qualitativamente o efeito do evento em sobre a corrente no circuito.
(d) Discutir a continuidade de e
no instante do evento.
(a) Modelar a “força aplicada” e escrever o PVI completo (a equação diferencial com condição inicial).
(b) Resolver o PVI usando Transformada de Laplace com
(c) Descrever qualitativamente o efeito do evento em
(d) Discutir a continuidade de
Informações dadas:
- O circuito é série RLC com constantes positivas
. - A equação diferencial é
- O circuito está inicialmente em repouso: não há carga nem corrente em
. Portanto as condições iniciais são
- Em
s ocorre uma descarga extremamente breve (praticamente instantânea) e depois não há mais fontes. Esse evento é modelado como um estímulo concentrado em tempo.
Passo 2
Modelagem da força aplicada (a ideia física e a escolha matemática).
- Uma descarga elétrica muito breve e intensa concentrada num instante é modelada, na matemática de sistemas lineares, por uma delta de Dirac deslocada no tempo: a função
. Essa função tem área finita igual a 1 e representa um impulso concentrado em . - A descarga pode ter uma intensidade (área) arbitrária; chamo essa área de
(no SI, tem unidades compatíveis com ). Então a força aplicada é
- Assim o PVI completo (para
) é
com condições iniciais
(Isto responde o item (a).)
Passo 3
Breve aula sobre transformada de Laplace e propriedades que vou usar (não pula etapas).
- Definição: para uma função causal
(nula para ), a Transformada de Laplace é
- Propriedades essenciais aqui:
- Linearidade:
. - Derivadas:
e . - Delta deslocado:
para . - Teorema do deslocamento no tempo (para inverter): se
então , onde é o degrau de Heaviside.
- Linearidade:
- Também preciso saber transformada inversa conhecida:
. Vou usar isso explicitamente mais adiante.
Passo 4
Aplicando a Transformada de Laplace ao PVI com
.
- Com esses valores a equação fica
e condições
.
- Tomando Laplace de ambos os lados e usando as fórmulas para derivadas e para a delta, obtemos (escrevo
):
Substituindo as expressões:
- Como
e , isso simplifica bastante:
- Note que
. Portanto
Passo 5
Inversão da Transformada de Laplace usando o teorema do deslocamento no tempo.
- Reconhecemos que
- Assim
onde
.
- Substituindo
, obtemos a solução em forma de peça:
- Em notação com o degrau do impulso.)]
Passo 6
Cálculo da corrente
- Assim a corrente é
- Avaliando o comportamento logo após o impulso: em
. Logo a descarga gera uma subida instantânea da corrente de
para no instante imediatamente após . - Qualitativamente: com
o sistema é criticamente amortecido (o polinômio característico tem raiz dupla real ). Portanto, após o impulso a corrente não oscila; ela salta para um valor em e depois decai monotonamente exponencialmente (com perfil de um pico que decresce) para zero, sem oscilações. Em palavras mais amigáveis: a descarga dá um “empurrão” instantâneo na corrente que depois é absorvido pelo circuito de forma amortecida.]
Passo 7
Discussão matemática da continuidade de
e
no instante do evento (item (d)).
- Regra geral: um impulso
no segundo membro de uma equação do tipo causa um salto na derivada primeira proporcional a , enquanto a própria permanece contínua. - Demonstração por integração da equação sobre um intervalo pequeno em torno de
. Integre de a :
- O lado direito dá
. No lado esquerdo, quando o intervalo encolhe a zero, os termos com e são finitos (multiplicados por intervalo) e tendem a zero, enquanto
- Assim
- Como antes do impulso
(o circuito estava em repouso e nenhuma outra fonte atuou antes de ), obtemos
- Portanto
é contínua em (não há salto em porque delta integra para um salto na derivada, não na função), enquanto tem salto igual a . No caso numérico isso dá salto , que bate com o cálculo direto da solução (onde ).
Passo 8
Resumo rápido e incentivo (pequeno empurrão final).
- Recapitulando: modelamos a descarga por
, resolvemos por Laplace e obtivemos ; a corrente salta instantaneamente para em e depois decai sem oscilar (caso criticamente amortecido).
Força um passo de cada vez: se quiser, eu faço o mesmo processo com um valor numérico para(por exemplo ) para ver gráficos ou valores numéricos na prova — isso facilita conferir cálculos rápido.
Resposta
(a)
onde
é a intensidade do impulso.
(c) A descarga em
produz um salto instantâneo na corrente:
para
e
; depois a corrente decai monotonicamente para zero (o sistema com
é criticamente amortecido, logo não há oscilações).
(d) é contínua em
. Já
tem descontinuidade (salto) em
dado por
(no caso
o salto vale
).]
(d)