Considere:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
(a) Descreva geometricamente o gráfico dessa função.
(b) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y).
(c) Explique o significado desse limite em termos de distância.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
As perguntas são três:
(a) Descrever geometricamente o gráfico dessa função (ou seja, o conjunto de pontos (x,y,z) com z=f(x,y)).
(b) Calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
(c) Explicar o significado desse limite em termos de distância.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita de f em todos os pontos (x,y) do plano: f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto em que o limite é pedido: (0,0) no plano (x,y).
    Nenhuma outra informação (figura ou número extra) foi dada.

Passo 2

Entender o que é \sqrt{x^{2}+y^{2}} — interpretação geométrica básica (aulas rápidas).
  • Para qualquer ponto (x,y) do plano, a expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}}é exatamente a norma euclidiana (o comprimento do vetor) de (x,y). Em linguagem de distância: é a distância entre o ponto (x,y) e a origem (0,0) no plano. Em símbolos, se denotarmos a distância euclidiana por d, então f(x,y)=d\big((x,y),(0,0)\big).
  • Algumas propriedades imediatas que vou usar depois:
    1. f(x,y)\ge 0 para todo (x,y).
    2. f(x,y)=0 se, e somente se, (x,y)=(0,0).
Essas observações ajudam a visualizar o gráfico e a ver por que o limite tende a zero quando (x,y) se aproxima da origem.

Passo 3

Descrever geometricamente o gráfico de f (resposta detalhada para (a)).
  • O gráfico de f é o conjunto dos pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^{3} tais que z=f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Ele satisfaz a relação (elevar ao quadrado) z^{2}=x^{2}+y^{2},\qquad z\ge 0.Essa equação é justamente a equação de um cone circular reto com vértice na origem e “abertura” para cima. Ou seja, é um cone com eixo no eixo z, cujo vértice é (0,0,0).
  • Características concretas e fáceis de imaginar:
    • As fatias horizontais (interseção com o plano z=c para c>0) são círculos de raio c. Em símbolos: se z=c>0 então x^{2}+y^{2}=c^{2}, círculo de raio c.
    • A superfície sobe a partir da origem e é simétrica em torno do eixo z.
    • A geratriz do cone (uma linha reta que vai do vértice ao redor) forma um ângulo de 45^\circ com o eixo z: isso porque, em qualquer direção radial no plano xy, ao percorrer uma unidade na projeção radial (r) ganha-se exatamente uma unidade em z (pois z=r). Portanto a inclinação é 1, o que corresponde a 45^\circ.
  • Resumo informal (algo que eu diria como amigo): o gráfico é um cone apontado para cima, com o bico no zero — se você cortar o cone horizontalmente, sempre sai um círculo, e a altura do cone a uma certa distância radial é exatamente essa distância.

Passo 4

Calcular o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) com argumento direto e elementar (parte (b)).
  • Uma forma muito clara é usar coordenadas polares. Escrevendo x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,temos f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}= \sqrt{r^{2}}=r,onde r\ge 0 é a distância radial ao ponto (0,0). Quando (x,y)\to(0,0) isso significa r\to 0. Logo f(x,y)=r\to 0.
  • Portanto \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
  • Observação prática: essa forma mostra que o valor de f depende só de r (ou seja, só da distância ao centro), não do ângulo \theta. Por isso o limite não depende do caminho que se toma até a origem.

Passo 5

Prova \varepsilon- \delta formal e simples (para convencer que está bem feito na prova).
  • Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |f(x,y)-0|<\varepsilon.
  • Note que |f(x,y)-0|=f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.Se escolhermos \delta=\varepsilon, então sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos |f(x,y)-0|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon.
  • Isso mostra formalmente que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0. (Escolher \delta=\varepsilon é natural porque f já é exatamente a distância radial.)

Passo 6

Interpretação do limite em termos de distância (resposta para (c), didática e intuitiva).
  • Como já observei, f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}\,} é a distância euclidiana entre (x,y) e a origem (0,0). O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0significa exatamente isto: se o ponto (x,y) se aproxima da origem, a sua distância até a origem (que é f(x,y)) tende a zero.
  • Em palavras de amigo: à medida que eu me aproximo do centro, o valor de f me diz “quão longe” estou; chegar bem perto do ponto (0,0) significa que essa distância fica arbitrariamente pequena, por isso f vai para zero.
  • Consequência prática: a função é contínua na origem (e em todo lugar), porque o valor em (0,0) é f(0,0)=0 e o limite quando se aproxima é também 0.

Resposta

(a) O gráfico é um cone circular reto com vértice em (0,0,0), aberto para cima, definido por z^{2}=x^{2}+y^{2} e z\ge 0.
(b) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
(c) O valor f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância euclidiana de (x,y) até a origem; o limite afirma que, à medida que (x,y) se aproxima de (0,0), essa distância tende a zero.

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