Considere:
(a) Descreva geometricamente o gráfico dessa função.
(b) Calcule
.
(c) Explique o significado desse limite em termos de distância.
(b) Calcule
(c) Explique o significado desse limite em termos de distância.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
As perguntas são três:
(a) Descrever geometricamente o gráfico dessa função (ou seja, o conjunto de pontos com
).
(b) Calcular .
(c) Explicar o significado desse limite em termos de distância.
(a) Descrever geometricamente o gráfico dessa função (ou seja, o conjunto de pontos
(b) Calcular
(c) Explicar o significado desse limite em termos de distância.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A fórmula explícita de
em todos os pontos do plano: . - O ponto em que o limite é pedido:
no plano .
Nenhuma outra informação (figura ou número extra) foi dada.
Passo 2
Entender o que é
— interpretação geométrica básica (aulas rápidas).
- Para qualquer ponto
do plano, a expressão é exatamente a norma euclidiana (o comprimento do vetor) de . Em linguagem de distância: é a distância entre o ponto e a origem no plano. Em símbolos, se denotarmos a distância euclidiana por , então - Algumas propriedades imediatas que vou usar depois:
-
para todo . -
se, e somente se, .
-
Essas observações ajudam a visualizar o gráfico e a ver por que o limite tende a zero quando
se aproxima da origem.
Passo 3
Descrever geometricamente o gráfico de
(resposta detalhada para (a)).
- O gráfico de
é o conjunto dos pontos em tais que - Ele satisfaz a relação (elevar ao quadrado)
Essa equação é justamente a equação de um cone circular reto com vértice na origem e “abertura” para cima. Ou seja, é um cone com eixo no eixo , cujo vértice é . - Características concretas e fáceis de imaginar:
- As fatias horizontais (interseção com o plano
para ) são círculos de raio . Em símbolos: se então , círculo de raio . - A superfície sobe a partir da origem e é simétrica em torno do eixo
. - A geratriz do cone (uma linha reta que vai do vértice ao redor) forma um ângulo de
com o eixo : isso porque, em qualquer direção radial no plano , ao percorrer uma unidade na projeção radial ganha-se exatamente uma unidade em (pois ). Portanto a inclinação é , o que corresponde a .
- As fatias horizontais (interseção com o plano
- Resumo informal (algo que eu diria como amigo): o gráfico é um cone apontado para cima, com o bico no zero — se você cortar o cone horizontalmente, sempre sai um círculo, e a altura do cone a uma certa distância radial é exatamente essa distância.
Passo 4
Calcular o limite
com argumento direto e elementar (parte (b)).
- Uma forma muito clara é usar coordenadas polares. Escrevendo
temos onde é a distância radial ao ponto . Quando isso significa . Logo . - Portanto
- Observação prática: essa forma mostra que o valor de
depende só de (ou seja, só da distância ao centro), não do ângulo . Por isso o limite não depende do caminho que se toma até a origem.
Passo 5
Prova
-
formal e simples (para convencer que está bem feito na prova).
- Queremos mostrar que para todo
existe tal que, se então . - Note que
Se escolhermos , então sempre que temos - Isso mostra formalmente que
. (Escolher é natural porque já é exatamente a distância radial.)
Passo 6
Interpretação do limite em termos de distância (resposta para (c), didática e intuitiva).
- Como já observei,
é a distância euclidiana entre e a origem . O limite significa exatamente isto: se o ponto se aproxima da origem, a sua distância até a origem (que é ) tende a zero. - Em palavras de amigo: à medida que eu me aproximo do centro, o valor de
me diz “quão longe” estou; chegar bem perto do ponto significa que essa distância fica arbitrariamente pequena, por isso vai para zero. - Consequência prática: a função é contínua na origem (e em todo lugar), porque o valor em
é e o limite quando se aproxima é também .
Resposta
(a) O gráfico é um cone circular reto com vértice em
, aberto para cima, definido por
e
.
(b) .
(c) O valor é a distância euclidiana de
até a origem; o limite afirma que, à medida que
se aproxima de
, essa distância tende a zero.
(b)
(c) O valor