e pede:
(a) calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y);
(b) dizer se f é contínua na origem e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
A função está dada por uma expressão racional para (x,y)\neq(0,0) e por 0 na origem.
O ponto de interesse para limite e continuidade é (0,0).]
Passo 2
Definição intuitiva de limite em \mathbb{R}^2 (lembrando o que vamos usar).
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
significa que, quando a distância \sqrt{x^2+y^2} entre (x,y) e (0,0) fica arbitrariamente pequena, os valores f(x,y) ficam arbitrariamente próximos de L. Uma forma prática de provar limites em \mathbb{R}^2 é encontrar uma desigualdade do tipo
|f(x,y)-L|\le g(x,y)
onde g(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0); então pelo teorema do aperto (squeeze) obtemos o limite.
No nosso caso vamos testar a hipótese L=0 (pois f(0,0)=0 e a expressão do numerador tem fator y, sugerindo que pode tender a zero).
Passo 3
Estimativa direta que mostra que |f(x,y)| fica pequena quando (x,y) está perto da origem.
Além disso, a componente y tem módulo controlado pela distância ao polo:
|y|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Compondo as duas desigualdades obtemos, para (x,y)\neq(0,0),
|f(x,y)|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 4
Conclusão do limite usando a estimativa (aplicação do squeeze).
Denotando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (a distância ao ponto (0,0)), a desigualdade do passo anterior é
|f(x,y)|\le r.
Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0, logo o lado direito tende a 0. Pelo teorema do aperto (ou pelas propriedades de limites), concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Passo 5
Verificação alternativa em coordenadas polares (boa para entender a dependência angular).
Colocando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r>0, temos
porque |\cos^{2}\theta\sin\theta|\le 1. Assim, quando r\to0 (isto é, (x,y)\to(0,0)), f(r,\theta)\to0 independentemente de \theta. Isso confirma a conclusão do passo anterior e mostra que não há dependência de direção que impeça o limite.
Passo 6
Prova epsilon–delta (formal) — opcional mas completa.
Seja \varepsilon>0. Tome \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então pelo passo 3
Assim, por definição, \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Passo 7
Resposta sobre continuidade na origem.
A função f é contínua em (0,0) se e somente se \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0). Como mostramos que o limite é 0 e f(0,0)=0, segue que f é contínua na origem.
Resposta
(a) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0
(b) Sim. f é contínua na origem porque o limite no item (a) é igual a f(0,0)=0.