Considere a função:
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
(a) Calcule o limite quando (x, y) \rightarrow(0,0).
(b) A função é contínua na origem? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0)\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}
e pede:
(a) calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y);
(b) dizer se f é contínua na origem e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está dada por uma expressão racional para (x,y)\neq(0,0) e por 0 na origem.
  • O ponto de interesse para limite e continuidade é (0,0).]

Passo 2

Definição intuitiva de limite em \mathbb{R}^2 (lembrando o que vamos usar).
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
significa que, quando a distância \sqrt{x^2+y^2} entre (x,y) e (0,0) fica arbitrariamente pequena, os valores f(x,y) ficam arbitrariamente próximos de L. Uma forma prática de provar limites em \mathbb{R}^2 é encontrar uma desigualdade do tipo
|f(x,y)-L|\le g(x,y)
onde g(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0); então pelo teorema do aperto (squeeze) obtemos o limite.
No nosso caso vamos testar a hipótese L=0 (pois f(0,0)=0 e a expressão do numerador tem fator y, sugerindo que pode tender a zero).

Passo 3

Estimativa direta que mostra que |f(x,y)| fica pequena quando (x,y) está perto da origem.
Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos
|f(x,y)|=\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|=\frac{x^{2}\,|y|}{x^{2}+y^{2}}.
Observe que, para todo (x,y)\neq(0,0),
0\le\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1,
pois x^{2}\le x^{2}+y^{2}. Portanto
|f(x,y)|=\frac{x^{2}\,|y|}{x^{2}+y^{2}}\le |y|.
Além disso, a componente y tem módulo controlado pela distância ao polo:
|y|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Compondo as duas desigualdades obtemos, para (x,y)\neq(0,0),
|f(x,y)|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Conclusão do limite usando a estimativa (aplicação do squeeze).
Denotando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (a distância ao ponto (0,0)), a desigualdade do passo anterior é
|f(x,y)|\le r.
Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0, logo o lado direito tende a 0. Pelo teorema do aperto (ou pelas propriedades de limites), concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 5

Verificação alternativa em coordenadas polares (boa para entender a dependência angular).
Colocando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r>0, temos
x^{2}y=r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2},
logo, para r>0,
f(r,\theta)=\frac{r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta}{r^{2}}=r\cos^{2}\theta\sin\theta.
Então
|f(r,\theta)|\le r\cdot|\cos^{2}\theta\sin\theta|\le r,
porque |\cos^{2}\theta\sin\theta|\le 1. Assim, quando r\to0 (isto é, (x,y)\to(0,0)), f(r,\theta)\to0 independentemente de \theta. Isso confirma a conclusão do passo anterior e mostra que não há dependência de direção que impeça o limite.

Passo 6

Prova epsilon–delta (formal) — opcional mas completa.
Seja \varepsilon>0. Tome \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então pelo passo 3
|f(x,y)-0|=|f(x,y)|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon.
Assim, por definição, \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 7

Resposta sobre continuidade na origem.
A função f é contínua em (0,0) se e somente se \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0). Como mostramos que o limite é 0 e f(0,0)=0, segue que f é contínua na origem.

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0
(b) Sim. f é contínua na origem porque o limite no item (a) é igual a f(0,0)=0.

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