Verifique se existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}
(Sugestão: analise diferentes caminhos.)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x y}{x^{2}+y^{2}}, que está bem definida para todos os pontos (x,y) com (x,y)\neq(0,0) e é indefinida em (0,0).
  • O objetivo é decidir se existe um número real L tal que f(x,y) tende a L quando (x,y) tende a (0,0).

Passo 2

O que significa “o limite existe” em duas variáveis (intuição e teste prático):
  • Formalmente, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe se, para qualquer sequência (x_n,y_n) diferente de (0,0) que converge para (0,0), os números f(x_n,y_n) convergem para o mesmo L.
  • Uma maneira prática e muito usada em provas: se existirem dois caminhos (por exemplo retas, parábolas, curvas) que levam a (0,0) e o limite de f ao longo de um desses caminhos for diferente do limite ao longo do outro, então o limite total NÃO pode existir. Ou seja, encontrar dois caminhos com limites distintos é suficiente para concluir que o limite não existe. (Isso é porque o valor do limite teria que ser único.)

Passo 3

Teste simples: aproximar pelo eixo x (ou pela reta y=0).
  • Se y=0 então, para x\neq0,
\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x\cdot 0}{x^{2}+0}=0.
  • Portanto, ao aproximar (0,0) por pontos da forma (x,0) temos que o valor da função é sempre 0, logo o limite ao longo de y=0 é
\lim_{x\to0} \frac{x\cdot 0}{x^{2}+0}=0.

Passo 4

Teste por uma reta genérica: aproximar por y=m x, com m constante real.
  • Substituindo y=m x na expressão (para x\neq0):
\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x\cdot (m x)}{x^{2}+(m x)^{2}} =\frac{m x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{m}{1+m^{2}}.
  • Observação didática: a simplificação usou fatorar x^{2} no denominador e cancelar com o x^{2} do numerador; isso é válido enquanto trabalhamos com x\neq0. O resultado é uma constante que depende só de m, não de x.

Passo 5

Extraia consequências do passo anterior: caminhos diferentes dão limites diferentes.
  • Para m=0 (reta y=0) obtemos \dfrac{m}{1+m^{2}}=0, já visto no Passo 3.
  • Para m=1 (reta y=x) obtemos
\frac{m}{1+m^{2}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
  • Para m=-1 (reta y=-x) obtemos
\frac{m}{1+m^{2}}=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}.
  • Conclusão intermediária: ao aproximar por retas com inclinações diferentes obtêm-se valores diferentes (por exemplo 0, \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}).

Passo 6

Perspectiva alternativa (polar) que explica por que isso acontece de forma direta.
  • Use coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta ângulo. Então, para r>0,
\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} =\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta} =\frac{r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)} =\cos\theta\sin\theta.
  • Como \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta), o valor da expressão quando (x,y) tende a (0,0) depende do ângulo \theta pelo qual se aproxima a origem, não do raio r. Logo diferentes direções \theta dão, em geral, valores diferentes.

Passo 7

Conclusão lógica (sem repetir a frase final do campo resposta):
  • Encontramos caminhos (retas) que aproximam (0,0) e fornecem limites distintos, por exemplo 0 e \tfrac{1}{2}. Pelo teste de caminhos, isso mostra que não há um único valor limite comum para todas as direções de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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