Verifique se existe:
(Sugestão: analise diferentes caminhos.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe
Informações dadas:
- A função considerada é
, que está bem definida para todos os pontos com e é indefinida em . - O objetivo é decidir se existe um número real
tal que tende a quando tende a .
Passo 2
O que significa “o limite existe” em duas variáveis (intuição e teste prático):
- Formalmente, o limite
existe se, para qualquer sequência diferente de que converge para , os números convergem para o mesmo . - Uma maneira prática e muito usada em provas: se existirem dois caminhos (por exemplo retas, parábolas, curvas) que levam a
e o limite de ao longo de um desses caminhos for diferente do limite ao longo do outro, então o limite total NÃO pode existir. Ou seja, encontrar dois caminhos com limites distintos é suficiente para concluir que o limite não existe. (Isso é porque o valor do limite teria que ser único.)
Passo 3
Teste simples: aproximar pelo eixo
(ou pela reta
).
- Se
então, para ,
- Portanto, ao aproximar
por pontos da forma temos que o valor da função é sempre , logo o limite ao longo de é
Passo 4
Teste por uma reta genérica: aproximar por
, com
constante real.
- Substituindo
na expressão (para ):
- Observação didática: a simplificação usou fatorar
no denominador e cancelar com o do numerador; isso é válido enquanto trabalhamos com . O resultado é uma constante que depende só de , não de .
Passo 5
Extraia consequências do passo anterior: caminhos diferentes dão limites diferentes.
- Para
(reta ) obtemos , já visto no Passo 3. - Para
(reta ) obtemos
- Para
(reta ) obtemos
- Conclusão intermediária: ao aproximar por retas com inclinações diferentes obtêm-se valores diferentes (por exemplo
, , ).
Passo 6
Perspectiva alternativa (polar) que explica por que isso acontece de forma direta.
- Use coordenadas polares:
, , com e ângulo. Então, para ,
- Como
, o valor da expressão quando tende a depende do ângulo pelo qual se aproxima a origem, não do raio . Logo diferentes direções dão, em geral, valores diferentes.
Passo 7
Conclusão lógica (sem repetir a frase final do campo resposta):
- Encontramos caminhos (retas) que aproximam
e fornecem limites distintos, por exemplo e . Pelo teste de caminhos, isso mostra que não há um único valor limite comum para todas as direções de aproximação.
Resposta
O limite não existe.