Considere f(x, y)=x^{2}+2 x y+3 y^{2}. No ponto P=(1,-2) :
(a) Em que direção f cresce mais rapidamente? Qual a taxa de crescimento máximo?
(b) Em que direção f decresce mais rapidamente? Qual a taxa de decrescimento máximo?
(c) Quais são as direções de variação zero de f em P ?

Passo 1

O enunciado dá f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{2} e pede, no ponto P=(1,-2): (a) direção e taxa de máximo crescimento, (b) direção e taxa de máximo decrescimento, (c) direções em que a variação é zero. Para isso vamos usar o gradiente de f, que indica direção de máximo crescimento e cujas propriedades dão as respostas.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =(2x+2y,\;2x+6y).
Em P=(1,-2) isso vira
\nabla f(1,-2)=\bigl(2\cdot1+2\cdot(-2),\;2\cdot1+6\cdot(-2)\bigr)=(-2,\,-10).

Passo 3

A direção de máximo crescimento é a direção do gradiente. O vetor unitário nessa direção é
\mathbf{u}_{\max} =\frac{\nabla f(1,-2)}{\|\nabla f(1,-2)\|} =\frac{(-2,-10)}{\sqrt{(-2)^{2}+(-10)^{2}}} =\Bigl(-\frac{2}{\sqrt{104}},\,-\frac{10}{\sqrt{104}}\Bigr).
A taxa máxima de crescimento é o módulo do gradiente:
\|\nabla f(1,-2)\| =\sqrt{104} =2\sqrt{26}.

Passo 4

A direção de máximo decrescimento é a oposta ao gradiente. O vetor unitário é
\mathbf{u}_{\min} =-\mathbf{u}_{\max} =\Bigl(\frac{2}{\sqrt{104}},\,\frac{10}{\sqrt{104}}\Bigr),
e a taxa máxima de decrescimento é
-\|\nabla f(1,-2)\| =-2\sqrt{26}.

Passo 5

As direções de variação zero são todos os vetores \mathbf{v}=(a,b) ortogonais ao gradiente, ou seja,
\nabla f(1,-2)\cdot\mathbf{v} =-2a-10b=0 \;\Longrightarrow\; a+5b=0.
Isso significa que \mathbf{v} é paralelo a (5,-1). Em vetor unitário:
\pm\frac{(5,-1)}{\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}}} =\pm\Bigl(\frac{5}{\sqrt{26}},\,-\frac{1}{\sqrt{26}}\Bigr).

Resposta

(a) Direção de máximo crescimento: \displaystyle\Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{104}},-\tfrac{10}{\sqrt{104}}\Bigr); taxa 2\sqrt{26}.
(b) Direção de máximo decrescimento: \displaystyle\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{104}},\tfrac{10}{\sqrt{104}}\Bigr); taxa -2\sqrt{26}.
(c) Direções de variação zero: \displaystyle\pm\Bigl(\tfrac{5}{\sqrt{26}},-\tfrac{1}{\sqrt{26}}\Bigr).

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