Considere
. No ponto
:
(a) Em que direção
cresce mais rapidamente? Qual a taxa de crescimento máximo?
(b) Em que direção
decresce mais rapidamente? Qual a taxa de decrescimento máximo?
(c) Quais são as direções de variação zero de
em
?
(a) Em que direção
(b) Em que direção
(c) Quais são as direções de variação zero de
Passo 1
O enunciado dá
e pede, no ponto
: (a) direção e taxa de máximo crescimento, (b) direção e taxa de máximo decrescimento, (c) direções em que a variação é zero. Para isso vamos usar o gradiente de
, que indica direção de máximo crescimento e cujas propriedades dão as respostas.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Em
isso vira
Passo 3
A direção de máximo crescimento é a direção do gradiente. O vetor unitário nessa direção é
A taxa máxima de crescimento é o módulo do gradiente:
Passo 4
A direção de máximo decrescimento é a oposta ao gradiente. O vetor unitário é
e a taxa máxima de decrescimento é
Passo 5
As direções de variação zero são todos os vetores
ortogonais ao gradiente, ou seja,
Isso significa que
é paralelo a
. Em vetor unitário:
Resposta
(a) Direção de máximo crescimento:
; taxa
.
(b) Direção de máximo decrescimento: ; taxa
.
(c) Direções de variação zero: .
(b) Direção de máximo decrescimento:
(c) Direções de variação zero: