No item abaixo:
  1. determine o gradiente de f;
  2. calcule o gradiente no ponto P; e
  3. determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor \mathbf{u}.
    f(x, y)=5 x y^{2}-4 x^{3} y, P=(1,2), \mathbf{u}=\left(\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{1 3}}, \frac{\mathbf{1 2}}{\mathbf{1 3}}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=5xy^{2}-4x^{3}y,
o ponto P=(1,2) e o vetor unitário
\mathbf{u}=\Bigl(\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}\Bigr).
Precisamos de (1) \nabla f, (2) \nabla f em P e (3) a derivada direcional \displaystyle D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente.
A derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =5y^{2}-12x^{2}y,
e a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =10xy-4x^{3}.
Portanto
\nabla f(x,y) =\bigl(5y^{2}-12x^{2}y,\;10xy-4x^{3}\bigr).

Passo 3

Avaliamo-os \nabla f em P=(1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) =5\cdot2^{2}-12\cdot1^{2}\cdot2 =20-24=-4,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) =10\cdot1\cdot2-4\cdot1^{3} =20-4=16.
Logo
\nabla f(1,2)=(-4,16).

Passo 4

A derivada direcional em P na direção de \mathbf{u} é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(1,2) =\nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u} =(-4,16)\cdot\Bigl(\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}\Bigr) =\frac{-4\cdot5+16\cdot12}{13} =\frac{172}{13}.

Resposta

  1. \nabla f(x,y)=\bigl(5y^{2}-12x^{2}y,\;10xy-4x^{3}\bigr).
  2. \nabla f(1,2)=(-4,16).
  3. D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\displaystyle \frac{172}{13}.

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