No item abaixo:
  1. determine o gradiente de f;
  2. calcule o gradiente no ponto P; e
  3. determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor \mathbf{u}.
    f(x, y, z)=x e^{2 y z}, P=(1,-3), \mathbf{u}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede para a função de três variáveis \r
f(x,y,z)=x\,e^{2yz}\r
  1. determinar \nabla f; \r
  2. avaliar \nabla f no ponto P; \r
  3. calcular a taxa de variação de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(\tfrac23,-\tfrac23,\tfrac13).

Passo 2

Vamos obter as derivadas parciais de f. \r
Derivada em relação a x:\r
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2yz}.\r
Derivada em relação a y:\r
\frac{\partial f}{\partial y} = x \,\frac{d}{dy}\bigl(e^{2yz}\bigr) = x\cdot e^{2yz}\cdot(2z) =2xz\,e^{2yz}.\r
Derivada em relação a z:\r
\frac{\partial f}{\partial z} = x \,\frac{d}{dz}\bigl(e^{2yz}\bigr) = x\cdot e^{2yz}\cdot(2y) =2xy\,e^{2yz}.\r
Portanto,\r
\nabla f(x,y,z) =\Bigl(e^{2yz},\,2xz\,e^{2yz},\,2xy\,e^{2yz}\Bigr).

Passo 3

Para avaliar \nabla f no ponto P precisamos das três coordenadas (x_P,y_P,z_P). O enunciado forneceu apenas dois valores em P=(1,-3), sem indicar z_P.

Resposta

Não é possível calcular \nabla f(P) nem a taxa de variação direcional porque falta a coordenada z do ponto P.

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