Considere f(z)=\operatorname{sinh} \left(z^{2}\right), z \in \mathbb{C}.
(1) Obtenha a série de Maclaurin de f.
(2) Mostre que f^{(n)}(0)=0 para todo n ímpar e f^{(m)}(0)=0 para todo m múltiplo de 4 .

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)=\operatorname{sinh}\bigl(z^{2}\bigr)
e pede (1) a sua série de Maclaurin e (2) que a gente mostre que
\displaystyle f^{(n)}(0)=0 para todo n ímpar e que
\displaystyle f^{(m)}(0)=0 para todo m múltiplo de 4.
O conteúdo envolve a expansão em série de potências de \operatorname{sinh} e a relação entre coeficientes de Taylor e derivadas em zero.

Passo 2

Lembramos que a série de Maclaurin de \operatorname{sinh}(u) é
\operatorname{sinh}(u)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 3

Em f(z)=\operatorname{sinh}(z^2) substituímos u=z^2 na expansão acima:
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z^{2})^{2k+1}}{(2k+1)!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{4k+2}}{(2k+1)!}.

Passo 4

Da série
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{n}\,z^{n},
vemos que apenas aparecem potências n=4k+2. Logo
a_{n}=\begin{cases} \dfrac{1}{(2k+1)!},&\text{se }n=4k+2,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 5

Sabendo que em geral
f^{(n)}(0)=n!\,a_{n},
concluímos:
  1. Se n é ímpar, então n\neq4k+2 e logo a_{n}=0, ou seja f^{(n)}(0)=0.
  2. Se m é múltiplo de 4, então m=4k\neq4k'+2, logo a_{m}=0 e assim f^{(m)}(0)=0.

Resposta

A série de Maclaurin é
\boxed{f(z)=\operatorname{sinh}(z^2)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{4k+2}}{(2k+1)!}.}
Dessa forma, como só há termos z^{4k+2}, segue que
\displaystyle f^{(n)}(0)=0 para todo n ímpar e
\displaystyle f^{(m)}(0)=0 para todo m múltiplo de 4.

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