Considere f(z)=\operatorname{sinh} \left(z^{2}\right), z \in \mathbb{C}.
(1) Obtenha a série de Maclaurin de f.
(2) Mostre que f^{(n)}(0)=0 para todo n ímpar e f^{(m)}(0)=0 para todo m múltiplo de 4 .
Passo 1
O enunciado define a função
f(z)=\operatorname{sinh}\bigl(z^{2}\bigr)
e pede (1) a sua série de Maclaurin e (2) que a gente mostre que \displaystyle f^{(n)}(0)=0 para todo n ímpar e que \displaystyle f^{(m)}(0)=0 para todo m múltiplo de 4.
O conteúdo envolve a expansão em série de potências de \operatorname{sinh} e a relação entre coeficientes de Taylor e derivadas em zero.
Passo 2
Lembramos que a série de Maclaurin de \operatorname{sinh}(u) é
Dessa forma, como só há termos z^{4k+2}, segue que \displaystyle f^{(n)}(0)=0 para todo n ímpar e \displaystyle f^{(m)}(0)=0 para todo m múltiplo de 4.