Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{1}{z\left(z^{2}+1\right)}, D:|z|>1

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (na verdade a expansão em série de potências centrada em 0) da função
f(z)=\frac{1}{z\bigl(z^2+1\bigr)}
válida no domínio \lvert z\rvert>1. Vamos usar a técnica de expansão em série de potências para funções racionais e o critério de convergência via série geométrica.

Passo 2

Reescrevemos f(z) de modo a isolar uma forma 1/(1+\dots). Como \lvert z\rvert>1, temos \lvert 1/z^2\rvert<1. Então
f(z) =\frac{1}{z\,(z^2+1)} =\frac{1}{z^3}\,\frac{1}{1+1/z^2}.

Passo 3

Aplicamos a expansão geométrica
\frac{1}{1+w}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n w^n,\quad\text{para }\lvert w\rvert<1,
com w=1/z^2. Obtém-se
\frac{1}{1+1/z^2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{z^{2n}}.

Passo 4

Multiplicando por z^{-3}, a série de Maclaurin de f(z) em potências negativas de z é
f(z) =\frac{1}{z^3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{z^{2n}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^{-\,\bigl(2n+3\bigr)}.

Resposta

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^{-\,(2n+3)}, \quad\lvert z\rvert>1.

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