Em um reator de tratamento, a taxa instantânea de remoção de um contaminante ( \mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{min} ) é modelada por
R(t)=(2 t+1) e^{t^{2}+t}, \quad t \geq 0
Admita que a massa removida acumulada M(t) satisfaz M^{\prime}(t)=R(t).
Determine M(t) (forma geral, com constante de integração).

Passo 1

O enunciado nos diz que a taxa de remoção é R(t)=(2t+1)e^{t^2+t} e que M'(t)=R(t). Para encontrar M(t), basta calcular a integral indefinida de R(t).

Passo 2

Perceba que o expoente na exponencial é t^2+t, cuja derivada é exatamente 2t+1. Isso sugere usar a substituição u = t^2 + t, pois
du = (2t+1)\,dt.
Logo,
\int R(t)\,dt = \int (2t+1)e^{t^2+t}\,dt = \int e^u\,du = e^u + C.

Passo 3

Voltando à variável original t, obtemos
M(t) = e^{t^2+t} + C.

Resposta

M(t) = e^{t^2+t} + C

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