- Considere a família de curvas:
e respondas as seguintes questões:
- Qual a EDO que gera essa família de soluções?
- Qual é a EDO que gera a família de soluções ortogonais à essa família?
- Qual é a família de soluções ortogonais à família dada?
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
e pede três coisas:
- Qual a EDO (equação diferencial ordinária) cuja família de soluções é exatamente essa família (ou seja, eliminar o parâmetro
e obter a EDO de primeira ordem que todas essas curvas satisfazem). - Qual é a EDO que gera a família ortogonal a essa (ou seja, a EDO cujas soluções têm tangentes em cada ponto perpendiculares às tangentes da família dada).
- Qual é a família de soluções ortogonais (ou seja, integrar a EDO ortogonal e apresentar a família de curvas ortogonais, pelo menos implicitamente).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A relação implícita entre
, e o parâmetro : . -
é constante ao longo de cada curva da família (é o parâmetro da família). - Precisamos diferenciar implicitamente para eliminar
e obter a EDO de primeira ordem; depois usar a regra da ortogonalidade das retas tangentes (declividades negativas recíprocas) para obter a EDO ortogonal; por fim integrar essa EDO ortogonal (ou apresentar sua solução implícita).
Passo 2
Primeiro objetivo: eliminar o parâmetro
e obter a EDO que é satisfeita por todas as curvas da família.
Passo inicial: isolar
a partir da relação dada. A equação
é equivalente a
Assim
Aqui usei apenas álgebra elementar para isolar
.
Passo 3
Agora vamos diferenciar implicitamente a equação original em relação a
para obter uma expressão envolvendo
que permita eliminar
.
Partimos de
Ao diferenciar ambos os lados em relação a
, lembrando que
é constante (parâmetro da família), temos:
derivada da esquerda = derivada de vezes
+
vezes derivada de
.
A derivada de é
(pois
é constante). A derivada de
é
. A derivada da direita
é
. Portanto:
derivada da esquerda = derivada de
A derivada de
Dividindo por
para simplificar:
Passo 4
Agora substituímos
pela expressão que obtivemos no Passo 2, isto é
. Substituindo em
vemos que o segundo termo fica
. Assim:
Isolando o termo com
:
Agora resolvemos para
:
Fatorando um
em cima:
Portanto a EDO de primeira ordem cuja família de soluções é exatamente a família dada é
(Explicação didática curta sobre o que fizemos: para obter a EDO que gera uma família com um parâmetro basta eliminar o parâmetro. A maneira prática é isolar o parâmetro e/ou diferenciar a equação dada, lembrando que o parâmetro é constante ao diferenciar; depois substituir para eliminar o parâmetro. Aqui isso resultou em uma EDO de primeira ordem explicitando
em termos de
e
.)
Passo 5
Agora queremos a EDO das trajetórias ortogonais. Regra básica (lembrando a ideia intuitiva): se uma curva tem declive
num ponto, a curva ortogonal a ela, passando pelo mesmo ponto, tem declive igual a
(o negativo do recíproco), desde que
. Então basta trocar
por
na EDO anterior.
A EDO que achamos para a família dada foi
Assim a EDO das ortogonais é
Portanto a EDO que gera a família ortogonal é
(Comentário didático: aqui usei a regra geométrica das tangentes perpendiculares — declives negativos recíprocos — e substituí diretamente. Isso é a forma usual e direta para obter a EDO ortogonal.)
Passo 6
Finalmente, queremos a família de soluções ortogonais (integrar a EDO ortogonal). A EDO ortogonal que temos é
Reescrevendo de forma que possamos tentar separar ou integrar:
(essa forma vem de multiplicar ambos os lados por
e rearranjar para termos tudo do mesmo lado).
Esta equação diferencial pode ser passada para uma forma implícita: ela define as curvas ortogonais como as soluções implícitas da equação diferencial acima. Nem sempre toda equação de primeira ordem admite uma primitiva elementar simples em funções elementares; aqui a equação leva a uma integral implícita que pode ser deixada como condição integral (isto é, uma relação implícita
).
Uma forma compacta e útil de escrever a família ortogonal é simplesmente indicar que ela é dada implicitamente pelas soluções da equação diferencial
ou, de novo,
cuja solução geral é uma constante
definida implicitamente por integração (ou seja, existirá uma função
tal que
é a família ortogonal). Se for necessário em uma prova, pode-se tentar resolver explicitamente por métodos de substituição; mas a forma implícita acima já caracteriza completamente a família ortogonal.
(Resumo da didática: explicamos a regra de ortogonalidade, obtivemos a EDO ortogonal e mostramos a transformação para a forma implícita que define a família. A integração explícita dessa EDO não é trivialmente elementar; em muitas questões de prova basta fornecer a EDO ortogonal e/ou a relação implícita que as soluções satisfazem.)
Resposta
A família ortogonal é dada implicitamente pelas soluções da equação diferencial