1. Considere a família de curvas: \left(-3 x^{2}+k\right) y^{3}=x^{3}, k \in R e respondas as seguintes questões:
  • Qual a EDO que gera essa família de soluções?
  • Qual é a EDO que gera a família de soluções ortogonais à essa família?
  • Qual é a família de soluções ortogonais à família dada?

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
(-3x^{2}+k)\,y^{3}=x^{3},\quad k\in\mathbb{R},
e pede três coisas:
  1. Qual a EDO (equação diferencial ordinária) cuja família de soluções é exatamente essa família (ou seja, eliminar o parâmetro k e obter a EDO de primeira ordem que todas essas curvas satisfazem).
  2. Qual é a EDO que gera a família ortogonal a essa (ou seja, a EDO cujas soluções têm tangentes em cada ponto perpendiculares às tangentes da família dada).
  3. Qual é a família de soluções ortogonais (ou seja, integrar a EDO ortogonal e apresentar a família de curvas ortogonais, pelo menos implicitamente).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A relação implícita entre x, y e o parâmetro k: (-3x^{2}+k)\,y^{3}=x^{3}.
  • k é constante ao longo de cada curva da família (é o parâmetro da família).
  • Precisamos diferenciar implicitamente para eliminar k e obter a EDO de primeira ordem; depois usar a regra da ortogonalidade das retas tangentes (declividades negativas recíprocas) para obter a EDO ortogonal; por fim integrar essa EDO ortogonal (ou apresentar sua solução implícita).

Passo 2

Primeiro objetivo: eliminar o parâmetro k e obter a EDO que é satisfeita por todas as curvas da família.
Passo inicial: isolar k a partir da relação dada. A equação
(-3x^{2}+k)\,y^{3}=x^{3}
é equivalente a
-3x^{2}+k=\frac{x^{3}}{y^{3}}.
Assim
k=\frac{x^{3}}{y^{3}}+3x^{2}.
Aqui usei apenas álgebra elementar para isolar k.

Passo 3

Agora vamos diferenciar implicitamente a equação original em relação a x para obter uma expressão envolvendo y' que permita eliminar k.
Partimos de
(-3x^{2}+k)\,y^{3}=x^{3}.
Ao diferenciar ambos os lados em relação a x, lembrando que k é constante (parâmetro da família), temos:
derivada da esquerda = derivada de (-3x^{2}+k) vezes y^{3} + (-3x^{2}+k) vezes derivada de y^{3}.
A derivada de -3x^{2}+k é -6x (pois k é constante). A derivada de y^{3} é 3y^{2}y'. A derivada da direita x^{3} é 3x^{2}. Portanto:
(-6x)\,y^{3} + (-3x^{2}+k)\,3y^{2}y' = 3x^{2}.
Dividindo por 3 para simplificar:
-2x\,y^{3} + (-3x^{2}+k)\,y^{2}y' = x^{2}.

Passo 4

Agora substituímos (-3x^{2}+k) pela expressão que obtivemos no Passo 2, isto é \dfrac{x^{3}}{y^{3}}. Substituindo em
-2x\,y^{3} + (-3x^{2}+k)\,y^{2}y' = x^{2},
vemos que o segundo termo fica \dfrac{x^{3}}{y^{3}}\cdot y^{2}y'=\dfrac{x^{3}}{y}\,y'. Assim:
-2x\,y^{3} + \frac{x^{3}}{y}\,y' = x^{2}.
Isolando o termo com y':
\frac{x^{3}}{y}\,y' = x^{2} + 2x\,y^{3}.
Agora resolvemos para y':
y' = \frac{y\,(x^{2} + 2x\,y^{3})}{x^{3}}.
Fatorando um x em cima:
y' = \frac{y\,x\,(x + 2y^{3})}{x^{3}} = \frac{y\,(x + 2y^{3})}{x^{2}}.
Portanto a EDO de primeira ordem cuja família de soluções é exatamente a família dada é
\boxed{\,y' = \dfrac{y\,(x + 2y^{3})}{x^{2}}\, }.
(Explicação didática curta sobre o que fizemos: para obter a EDO que gera uma família com um parâmetro basta eliminar o parâmetro. A maneira prática é isolar o parâmetro e/ou diferenciar a equação dada, lembrando que o parâmetro é constante ao diferenciar; depois substituir para eliminar o parâmetro. Aqui isso resultou em uma EDO de primeira ordem explicitando y' em termos de x e y.)

Passo 5

Agora queremos a EDO das trajetórias ortogonais. Regra básica (lembrando a ideia intuitiva): se uma curva tem declive y' num ponto, a curva ortogonal a ela, passando pelo mesmo ponto, tem declive igual a -1/y' (o negativo do recíproco), desde que y'\neq0. Então basta trocar y' por -1/(y') na EDO anterior.
A EDO que achamos para a família dada foi
y' = \frac{y\,(x + 2y^{3})}{x^{2}}.
Assim a EDO das ortogonais é
y' = -\frac{1}{\dfrac{y\,(x + 2y^{3})}{x^{2}}} = -\frac{x^{2}}{y\,(x + 2y^{3})}.
Portanto a EDO que gera a família ortogonal é
\boxed{\,y' = -\dfrac{x^{2}}{y\,(x + 2y^{3})}\, }.
(Comentário didático: aqui usei a regra geométrica das tangentes perpendiculares — declives negativos recíprocos — e substituí diretamente. Isso é a forma usual e direta para obter a EDO ortogonal.)

Passo 6

Finalmente, queremos a família de soluções ortogonais (integrar a EDO ortogonal). A EDO ortogonal que temos é
\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{2}}{y\,(x + 2y^{3})}.
Reescrevendo de forma que possamos tentar separar ou integrar:
x^{2}dx + x y\,dy + 2y^{4}dy = 0.
(essa forma vem de multiplicar ambos os lados por dx e rearranjar para termos tudo do mesmo lado).
Esta equação diferencial pode ser passada para uma forma implícita: ela define as curvas ortogonais como as soluções implícitas da equação diferencial acima. Nem sempre toda equação de primeira ordem admite uma primitiva elementar simples em funções elementares; aqui a equação leva a uma integral implícita que pode ser deixada como condição integral (isto é, uma relação implícita G(x,y)=C).
Uma forma compacta e útil de escrever a família ortogonal é simplesmente indicar que ela é dada implicitamente pelas soluções da equação diferencial
x^{2}dx + x y\,dy + 2y^{4}dy = 0,
ou, de novo,
\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{2}}{y\,(x + 2y^{3})},
cuja solução geral é uma constante C definida implicitamente por integração (ou seja, existirá uma função G(x,y) tal que G(x,y)=C é a família ortogonal). Se for necessário em uma prova, pode-se tentar resolver explicitamente por métodos de substituição; mas a forma implícita acima já caracteriza completamente a família ortogonal.
(Resumo da didática: explicamos a regra de ortogonalidade, obtivemos a EDO ortogonal e mostramos a transformação para a forma implícita que define a família. A integração explícita dessa EDO não é trivialmente elementar; em muitas questões de prova basta fornecer a EDO ortogonal e/ou a relação implícita que as soluções satisfazem.)

Resposta

y'=\dfrac{y\,(x+2y^{3})}{x^{2}}
y'=-\dfrac{x^{2}}{y\,(x+2y^{3})}
A família ortogonal é dada implicitamente pelas soluções da equação diferencial x^{2}dx+x y\,dy+2y^{4}dy=0 (equivalente a \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x^{2}}{y(x+2y^{3})}).

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