Considere os fasores V=120 \mathrm{~L} 30^{\circ} \mathrm{Ve} I=3 \mathrm{~L}-15^{\circ} \mathrm{A}. Desenhar o diagrama de fasores tensão e corrente. Determinar a impedância e a admitância equivalentes que a ele correspondem.

Passo 1

O enunciado dá os dois fasores e pede o diagrama e as impedância e admitância equivalentes. Dados fornecidos:
V=120\,\mathrm{L}\,30^{\circ}\,\mathrm{V} (tensão) e I=3\,\mathrm{L}\,-15^{\circ}\,\mathrm{A}.
Perguntas do enunciado:
  1. Desenhar o diagrama de fasores tensão e corrente.
  2. Determinar a impedância equivalente Z correspondente a esses fasores.
  3. Determinar a admitância equivalente Y correspondente a esses fasores.

Passo 2

Reescrevendo os fasores de forma mais usual em notação polar (já estão nessa forma):
V = 120\angle 30^\circ\\ \mathrm{V},\qquad I = 3\angle -15^\circ\\ \mathrm{A}.
Observação imediata (útil para o diagrama): a diferença de fase é
\angle V - \angle I = 30^\circ - (-15^\circ) = 45^\circ,
ou seja, a tensão está adiantada em 45^\circ em relação à corrente.

Passo 3

Instruções passo a passo para desenhar o diagrama de fasores (faça num papel no plano complexo):
  • Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal = parte real, eixo vertical = parte imaginária.
  • Marque a origem e trace uma seta para o fasor V com módulo 120 formando um ângulo de 30^\circ acima do eixo real (no sentido anti-horário). A seta deve sair da origem e ter comprimento proporcional a 120.
  • Trace outra seta para o fasor I com módulo 3 formando um ângulo de -15^\circ abaixo do eixo real (no sentido horário).
  • Como as escalas ficam muito diferentes ( 120 vs 3), você pode usar uma escala apropriada (por exemplo 1 cm = 10 V para V e mesma escala para I) ou desenhar I ampliado para visualização, mas sempre indicar a escala diferente. Anote claramente os ângulos 30^\circ e -15^\circ e a diferença de fase 45^\circ.

Passo 4

Definição e método para encontrar a impedância equivalente:
  • A impedância complexa é definida por
Z=\frac{V}{I},
onde V e I são os fasores (tensão e corrente) em forma complexa. Quando usamos a forma polar de fasores, a divisão é simples: divide-se as magnitudes e subtrai-se os ângulos.
  • Fórmula de divisão em polar: se V=|V|\angle\theta_V e I=|I|\angle\theta_I, então
\frac{V}{I}=\frac{|V|}{|I|}\angle(\theta_V-\theta_I).
Aqui |V| e |I| são as magnitudes (valores absolutos) e \theta_V,\theta_I são os ângulos em graus.

Passo 5

Cálculo da impedância em forma polar usando a fórmula acima:
|Z|=\frac{|V|}{|I|}=\frac{120}{3}=40,
\angle Z = 30^\circ - (-15^\circ)=45^\circ.
Logo, em forma polar:
Z = 40\angle 45^\circ\\ \Omega.

Passo 6

Conversão de Z para forma retangular (muito útil para interpretar parte real e reativa):
  • Fórmula de conversão polar \to retangular:
Z = |Z|(\cos\theta + j\sin\theta),
onde j é a unidade imaginária, |Z| é a magnitude e \theta é o ângulo de fase.
  • Aplicando com |Z|=40 e \theta=45^\circ, e sabendo que \cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2},
Z = 40\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + j\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=40\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)=20\sqrt{2}\,(1+j).
  • Valor numérico (aproximado):
20\sqrt{2}\approx 28,2843,
portanto
Z \approx 28,28 + j\,28,28\\ \Omega.

Passo 7

Interpretação física rápida (ajuda na prova): a parte real de Z é a resistência equivalente R e a parte imaginária positiva indica reatância indutiva X_L. Aqui temos R\approx 28,28\\ \Omega e X\approx +28,28\\ \Omega. O sinal positivo da parte imaginária confirma que a tensão está adiantada em relação à corrente (comportamento indutivo), consistente com o ângulo +45^\circ.

Passo 8

Cálculo da admitância Y (recíproco da impedância):
  • Definição:
Y=\frac{1}{Z}.
  • É muito prático usar polar: se Z=|Z|\angle\theta, então
Y=\frac{1}{|Z|}\angle(-\theta).
  • Aplicando com Z=40\angle 45^\circ:
|Y|=\frac{1}{40}=0,025,\qquad \angle Y = -45^\circ,
logo em polar:
Y = 0,025\angle -45^\circ\\ \mathrm{S}\\ (\text{siemens}).

Passo 9

Conversão de Y para forma retangular e forma exata:
  • Usando a conversão polar \to retangular:
Y = 0,025(\cos(-45^\circ) + j\sin(-45^\circ)).
Como \cos(-45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2} e \sin(-45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2},
Y = 0,025\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(1 - j)=\frac{\sqrt{2}}{80}(1 - j).
  • Valor numérico (aproximado):
0,025\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,0176777,
portanto
Y \approx 0,01768 - j\,0,01768\\ \mathrm{S}.

Passo 10

Controle rápido (cheque): multiplicando Z por Y em forma polar deve dar unidade:
Z\cdot Y = (40\angle 45^\circ)\cdot(0,025\angle -45^\circ)=1\angle 0^\circ=1,
confirma que os cálculos estão consistentes.

Resposta

Diagrama: V=120\angle 30^\circ (seta de magnitude 120 a 30^\circ acima do eixo real) e I=3\angle -15^\circ (seta de magnitude 3 a -15^\circ abaixo do eixo real); V adianta I em 45^\circ.
Z = 40\angle 45^\circ\\ \Omega = 20\sqrt{2}\,(1+j)\\ \Omega \approx 28,28 + j\,28,28\\ \Omega.
Y = 0,025\angle -45^\circ\\ \mathrm{S} = \dfrac{\sqrt{2}}{80}(1 - j)\\ \mathrm{S} \approx 0,01768 - j\,0,01768\\ \mathrm{S}.

Exercícios relacionados