Considere um circuito de dois ramos com z_{1}=10+j 20 \Omega, z_{2}=15-j 15 \Omega e tensão V= 200 \mathrm{~L}-0^{0} \mathrm{~V}. Desenhar o circuito. Determinar \mathrm{Z}_{\mathrm{eq}}. Determinar as correntes em cada impedância e a corrente total.

Passo 1

O enunciado pede: desenhar o circuito, determinar a impedância equivalente Z_{eq}, determinar as correntes em cada impedância e a corrente total. Dados fornecidos:
z_{1}=10+j\,20\\ \Omega,\qquad z_{2}=15-j\,15\\ \Omega,\qquad V=200\angle 0^\circ\\ \text{V}.
Nenhuma outra informação foi dada.

Passo 2

Desenho (descrição para você rabiscar rápido no caderno): fonte de tensão V à esquerda; do polo positivo da fonte sai um nó que se divide em dois ramos paralelos: um ramo com z_{1} e outro ramo com z_{2}; os dois ramos se encontram novamente no nó de retorno que volta ao polo negativo da fonte. Assim temos duas impedâncias em paralelo alimentadas por V.

Passo 3

Fórmula para impedância equivalente de duas impedâncias em paralelo (só duas): explicar o porquê de forma simples — quando duas impedâncias estão em paralelo, a tensão em ambas é a mesma (a tensão da fonte) e a corrente total é soma das correntes pelas duas impedâncias; a expressão fechada é
Z_{eq}=\frac{z_{1}z_{2}}{z_{1}+z_{2}}.
Vou usar essa fórmula porque é direta e evita calcular correntes primeiro.

Passo 4

Calcular z_{1}+z_{2}. Somando parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária:
z_{1}+z_{2}=(10+j20)+(15-j15)=(10+15)+j(20-15)=25+j5\\ \Omega.

Passo 5

Calcular o produto z_{1}z_{2} passo a passo (multiplicação de números complexos):
\begin{aligned} z_{1}z_{2} &= (10+j20)(15-j15)\\\ &=10\cdot15 + 10\cdot(-j15) + j20\cdot15 + j20\cdot(-j15)\\\ &=150 - j2250/10? \text{ Vou organizar melhor:}\\\ &=150 - j\,150 + j\,300 + (j\cdot -j)\,300\\\ &=150 + 300 + j(-150+300) \quad\text{(porque }j\cdot -j = -j^2 = +1\text{)}\\\ &=450 + j\,150\\ \Omega. \end{aligned}

Passo 6

Agora a divisão para obter Z_{eq}:
Z_{eq}=\frac{450+j150}{25+j5}.
Faço multiplicação pelo conjugado do denominador para dividir:
Z_{eq}=\frac{(450+j150)(25-j5)}{(25+j5)(25-j5)}=\frac{(450+j150)(25-j5)}{25^{2}+5^{2}}=\frac{(450+j150)(25-j5)}{650}.
Calculo o numerador com cuidado:
\begin{aligned} (450+j150)(25-j5) &= 450\cdot25 + 450\cdot(-j5) + j150\cdot25 + j150\cdot(-j5)\\\ &=11250 - j2250 + j3750 + 750\\\ &=(11250+750) + j(-2250+3750)\\\ &=12000 + j1500. \end{aligned}
Dividindo por 650:
Z_{eq}=\frac{12000}{650}+j\frac{1500}{650}=\frac{240}{13}+j\frac{30}{13}\\ \Omega.
Em forma decimal:
Z_{eq}\approx 18{,}462 + j\,2{,}308\\ \Omega.
Se quiser em polar (útil depois):
|Z_{eq}|=\sqrt{\left(\tfrac{240}{13}\right)^{2}+\left(\tfrac{30}{13}\right)^{2}}\approx 18{,}606\\ \Omega, \qquad \angle Z_{eq}=\arctan\!\left(\frac{30}{240}\right)=\arctan(0{,}125)\approx 7{,}125^\circ,
ou seja
Z_{eq}\approx 18{,}606\angle 7{,}125^\circ\\ \Omega.

Passo 7

Regra para correntes em regime fasorial: aplicar a lei de Ohm fasorial I=\dfrac{V}{Z}. Vou calcular as correntes de ramo I_{1} e I_{2}.
Calcular I_{1}=\dfrac{V}{z_{1}}. Primeiro escrevo z_{1} em forma polar:
|z_{1}|=\sqrt{10^{2}+20^{2}}=\sqrt{500}=22{,}3607\\ \Omega, \qquad \angle z_{1}=\arctan\!\left(\frac{20}{10}\right)=63{,}435^\circ.
Então
I_{1}=\frac{200\angle 0^\circ}{22{,}3607\angle 63{,}435^\circ}=\frac{200}{22{,}3607}\angle(-63{,}435^\circ)\approx 8{,}9443\angle -63{,}435^\circ\\ \text{A}.
Converter para retangular para somar depois (usando cos e sen):
I_{1}=8{,}9443\big(\cos(-63{,}435^\circ)+j\sin(-63{,}435^\circ)\big)=4 - j8\\ \text{A}.
(Essa forma retangular saiu exata: I_{1}=4-j8\\ \text{A}.)

Passo 8

Calcular I_{2}=\dfrac{V}{z_{2}}. Escrevo z_{2} mais conveniente: z_{2}=15-j15=15(1-j). Em polar:
|z_{2}|=15\sqrt{2}=21{,}2132\\ \Omega,\qquad \angle z_{2}=-45^\circ.
Logo
I_{2}=\frac{200\angle 0^\circ}{15\sqrt{2}\angle -45^\circ}=\frac{200}{15\sqrt{2}}\angle 45^\circ.
Posso simplificar isso em forma retangular: como \frac{200}{15\sqrt{2}}\cdot\cos45^\circ=\frac{200}{15\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{200}{30}=\frac{20}{3}.
Então
I_{2}=\frac{20}{3}+j\frac{20}{3}\\ \text{A}\approx 6{,}6667 + j\,6{,}6667\\ \text{A},
ou em polar
I_{2}\approx 9{,}4281\angle 45^\circ\\ \text{A}.

Passo 9

Corrente total: somo as correntes de ramo (soma vetorial em forma retangular):
\begin{aligned} I_{tot} &= I_{1}+I_{2}=(4-j8)+\left(\frac{20}{3}+j\frac{20}{3}\right)\\\ &=\left(4+\frac{20}{3}\right)+j\left(-8+\frac{20}{3}\right)\\\ &=\frac{32}{3}+j\left(-\frac{4}{3}\right)\\ \text{A}. \end{aligned}
Em decimais:
I_{tot}\approx 10{,}6667 - j\,1{,}3333\\ \text{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_{tot}|=\sqrt{\left(\tfrac{32}{3}\right)^{2}+\left(-\tfrac{4}{3}\right)^{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{32^{2}+4^{2}}\approx 10{,}746\\ \text{A},
\angle I_{tot}=\arctan\!\left(\frac{-4/3}{32/3}\right)=\arctan(-0{,}125)\approx -7{,}125^\circ,
ou seja
I_{tot}\approx 10{,}746\angle -7{,}125^\circ\\ \text{A}.
Checagem rápida (consistência): I_{tot}=\dfrac{V}{Z_{eq}} usando Z_{eq}\approx 18{,}606\angle 7{,}125^\circ
I_{tot}=\frac{200\angle 0^\circ}{18{,}606\angle 7{,}125^\circ}\approx 10{,}746\angle -7{,}125^\circ,
que bate com a soma dos ramos — ótimo.

Passo 10

Resumo final (fica aqui a moral da história para a prova): desenha o circuito com duas impedâncias em paralelo; usa a fórmula do paralelo para Z_{eq} ou soma as correntes calculando I=V/Z para cada ramo; some vetorialmente para achar I_{tot}. Respira, confere as contas e pronto — você consegue!

Resposta

Desenho: fonte V alimentando dois ramos em paralelo com z_{1}=10+j20\\ \Omega e z_{2}=15-j15\\ \Omega.
Z_{eq}=\dfrac{240}{13}+j\dfrac{30}{13}\\ \Omega\approx 18{,}462 + j\,2{,}308\\ \Omega\approx 18{,}606\angle 7{,}125^\circ\\ \Omega
I_{1}= \dfrac{V}{z_{1}}=4 - j8\\ \text{A}\approx 8{,}944\angle -63{,}435^\circ\\ \text{A}
I_{2}= \dfrac{V}{z_{2}}=\dfrac{20}{3}+j\dfrac{20}{3}\\ \text{A}\approx 6{,}6667 + j\,6{,}6667\\ \text{A}\approx 9{,}428\angle 45^\circ\\ \text{A}
I_{tot}=I_{1}+I_{2}=\dfrac{32}{3}-j\dfrac{4}{3}\\ \text{A}\approx 10{,}6667 - j\,1{,}3333\\ \text{A}\approx 10{,}746\angle -7{,}125^\circ\\ \text{A}

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