Determinar a soma das correntes i_{1}=14,14 \operatorname{sen}\left(w t+13,2^{0}\right) e i_{2}=8,95 \operatorname{sen}\left(w t+121,6^{0}\right), empregando fasores.

Passo 1

O enunciado fornece duas correntes senoidais e pede a soma delas, usando fasores. Informações dadas e o que se quer:
i_{1}(t)=14,14\operatorname{sen}\big(\omega t+13,2^\circ\big)
i_{2}(t)=8,95\operatorname{sen}\big(\omega t+121,6^\circ\big)
Pedido: determinar i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t) escrito como uma única senóide (mesma frequência \omega), usando representação por fasores.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): um fasor é uma representação complexa da amplitude e fase de uma senoide. Se escrevemos uma senoide como \operatorname{sen}(\omega t+\varphi), podemos associar-lhe um número complexo (o fasor)
\tilde I = A\angle\varphi = A\big(\cos\varphi + j\sin\varphi\big),
onde A é a amplitude pico e \varphi a fase em graus; j é a unidade imaginária. A razão de usar fasores é que a soma de senoides da mesma frequência corresponde à soma dos seus fasores (soma vetorial no plano complexo). Depois somamos os fasores em forma retangular e voltamos à forma polar para obter amplitude e fase da senóide resultante.

Passo 3

Transformar cada senoide num fasor (usar a amplitude pico diretamente): escrevemos
\tilde I_{1}=14,14\angle 13,2^\circ = 14,14\big(\cos 13,2^\circ + j\sin 13,2^\circ\big),
\tilde I_{2}=8,95\angle 121,6^\circ = 8,95\big(\cos 121,6^\circ + j\sin 121,6^\circ\big).
Aqui 14,14 e 8,95 são as amplitudes pico; 13,2^\circ e 121,6^\circ são as fases.

Passo 4

Converter os fasores para componentes retangulares (vou calcular cossenos e senos com aproximações razoáveis e mostrar o passo):
Calculemos \cos e \sin de cada ângulo:
\cos 13,2^\circ \approx 0,97363,\qquad \sin 13,2^\circ \approx 0,22835,
\cos 121,6^\circ = -\cos 58,4^\circ \approx -0,52398,\qquad \sin 121,6^\circ = \sin 58,4^\circ \approx 0,85173.

Passo 5

Multiplicar pelas amplitudes para obter as partes real e imaginária de cada fasor:
\tilde I_{1}=14,14\big(0,97363 + j\,0,22835\big)\approx 13,7669 + j\,3,2269,
\tilde I_{2}=8,95\big(-0,52398 + j\,0,85173\big)\approx -4,6896 + j\,7,62297.
Explanação: a parte real corresponde a A\cos\varphi e a parte imaginária a A\sin\varphi. Essas são as coordenadas do vetor-fasor no plano complexo.

Passo 6

Somar componente a componente (adição vetorial no plano complexo):
\tilde I = \tilde I_{1}+\tilde I_{2} \approx (13,7669-4,6896) + j\,(3,2269+7,62297).
Fazendo as contas:
\Re\{\tilde I\}\approx 9,0773,\qquad \Im\{\tilde I\}\approx 10,8499.

Passo 7

Converter o fasor resultante da forma retangular para a forma polar (magnitude e ângulo). A magnitude é
A=\big|\tilde I\big|=\sqrt{\big(\Re\{\tilde I\}\big)^{2}+\big(\Im\{\tilde I\}\big)^{2}} \approx\sqrt{9,0773^{2}+10,8499^{2}}.
Calculemos os quadrados e a raiz:
9,0773^{2}\approx 82,3968,\qquad 10,8499^{2}\approx 117,7202,
A\approx\sqrt{200,1170}\approx 14,144.

Passo 8

O ângulo (fase) do fasor é dado por
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\Im\{\tilde I\}}{\Re\{\tilde I\}}\right) =\arctan\!\left(\dfrac{10,8499}{9,0773}\right)\approx \arctan(1,1950).
Aproximação numérica:
\varphi\approx 50,1^\circ.
Observação: como tanto a parte real quanto a imaginária são positivas, o ângulo está no primeiro quadrante e usamos diretamente o arctan.

Passo 9

Agora voltamos ao domínio do tempo. O fasor resultante em forma polar é aproximadamente
\tilde I \approx 14,144\angle 50,1^\circ.
Como trabalhamos com senoides na forma \operatorname{sen}(\omega t+\varphi) e usamos o mesmo convênio de fase para os fasores, a corrente total no tempo é
i(t)=14,144\operatorname{sen}\big(\omega t+50,1^\circ\big).
Arredondando para duas casas decimais na amplitude e uma casa na fase (ajuste comum em exercício de prova), podemos escrever 14,14 em vez de 14,144.

Resposta

i(t)=14,14\operatorname{sen}\big(\omega t+50,1^\circ\big)

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