Um capacitor de 25 \mu está em série com um resistor R na frequência de 60 Hz . A corrente resultante está avançada de 45^{\circ} em relação à tensão. Determinar o valor de R.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: um capacitor de 25\\ \mu\text{F} (ou seja, 25 microfarads) está em série com um resistor R.
  • Dado: a frequência é 60\\ \text{Hz}.
  • Dado: a corrente resultante está adiantada de 45^\circ em relação à tensão (ou seja, a corrente “lead” a tensão por 45^\circ).
  • Pedido: determinar o valor de R.

Passo 2

Entendendo o que significa “corrente adiantada de 45^\circ”: numa associação série R C em regime senoidal, usamos números complexos (fasores) para representar a impedância e as fases. A impedância do resistor é puramente real ( R) e a do capacitor é puramente imaginária negativa. Escrevendo a impedância total em série:
Z = R - jX_C
onde X_C é a reatância capacitiva (um número positivo) e j é a unidade imaginária. Vou explicar o que é X_C no próximo passo.

Passo 3

A reatância capacitiva X_C é a “resistência” efetiva do capacitor à corrente alternada; ela depende da frequência e da capacitância e é dada por:
X_C=\frac{1}{\omega C}
onde \omega é a pulsação angular ( \omega = 2\pi f), f é a frequência em hertz e C é a capacitância em farads. Aqui:
f=60\\ \text{Hz},\qquad C=25\\ \mu\text{F}=25\times10^{-6}\\ \text{F}.

Passo 4

Agora vamos ver a relação entre o ângulo de fase entre corrente e tensão e as componentes de Z. O argumento (fase) da impedância é
\arg(Z)=\arctan\!\left(\frac{\operatorname{Im}(Z)}{\operatorname{Re}(Z)}\right)=\arctan\!\left(\frac{-X_C}{R}\right)=-\arctan\!\left(\frac{X_C}{R}\right).
A corrente (fasor) é I=V/Z, então o ângulo da corrente em relação à tensão é -\arg(Z). Portanto o avanço da corrente em relação à tensão é
\varphi=-\arg(Z)=\arctan\!\left(\frac{X_C}{R}\right).
Esse é o passo conceitual: em série R C, quanto maior X_C (ou menor R), maior será o avanço da corrente.

Passo 5

O enunciado diz que esse avanço vale 45^\circ. Assim:
\varphi=45^\circ=\arctan\!\left(\frac{X_C}{R}\right).
Tomando a tangente em ambos os lados:
\tan(45^\circ)=\frac{X_C}{R}.
Como \tan(45^\circ)=1, obtemos
\frac{X_C}{R}=1\quad\Rightarrow\quad R=X_C.
Ou seja, para avanço de 45^\circ o resistor tem que ser igual à reatância capacitiva.

Passo 6

Agora calculamos R pela fórmula de X_C:
R=X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f C}.
Substituindo os valores ( f=60\\ \text{Hz}, C=25\times10^{-6}\\ \text{F}):
2\pi f = 2\pi\cdot 60\approx 376{,}9911\\ \text{rad/s},
2\pi f C \approx 376{,}9911 \times 25\times10^{-6}=0{,}0094247775,
R=\frac{1}{2\pi f C}\approx \frac{1}{0{,}0094247775}\approx 106{,}103295\\ \Omega.

Passo 7

Arredondando para uma apresentação prática e mantendo uma casa decimal:
R\approx 106{,}1\\ \Omega.
Isso faz sentido fisicamente: quando R=X_C a fase entre corrente e tensão será 45^\circ.

Resposta

R\approx 106{,}1\\ \Omega

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