Considere a fermentação de um microrganismo em um biorreator pistonado. O substrato (S) é o nutriente que limita o crescimento do microrganismo. Verificou-se, em experimentos anteriores, que o coeficiente de rendimento é constante ao longo do processo (
). Dado:
e
.
a) (0.4 pontos) Determine o volume do reator necessário para atingir uma conversão de
do substrato limitante.
b) ( 0,3 pontos) Qual seria o volume do reator caso fosse usado um CSTR? Considere a alimentação estéril.
a) (0.4 pontos) Determine o volume do reator necessário para atingir uma conversão de
b) ( 0,3 pontos) Qual seria o volume do reator caso fosse usado um CSTR? Considere a alimentação estéril.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos de dado.
-
Perguntas:
- (a) Determinar o volume do reator pistonado (PFR) necessário para atingir uma conversão de
do substrato limitante. - (b) Determinar o volume do reator CSTR (alimentação estéril) que atinge a mesma conversão.
- (a) Determinar o volume do reator pistonado (PFR) necessário para atingir uma conversão de
-
Dados fornecidos (vou usar exatamente como dados do enunciado):
- coeficiente de rendimento:
, - taxa máxima específica:
, - concentração de biomassa na alimentação:
, - concentração de substrato na alimentação:
, - constante de Monod:
, - vazão volumétrica:
.
- coeficiente de rendimento:
-
Observações importantes (para resolver corretamente):
- Conversão
significa que a concentração de saída de substrato é . - Vou trabalhar com volumes em litros durante as contas (1
), porque as concentrações estão em . Então . - Para a parte (b) o enunciado pede explicitamente considerar alimentação estéril (ou seja,
). Para a parte (a) o enunciado deu — vou usar esse valor como concentração de biomassa na alimentação do PFR.
- Conversão
Passo 2
Modelagem cinética e relações fundamentais (explicando cada conceito).
-
Monod: a velocidade específica de crescimento depende do substrato
pela lei de Monod ondeé a taxa de crescimento específica (unidade ), é o máximo e é a constante de semissaturação (mesma unidade de ). -
Velocidades volumétricas de reação:
- taxa volumétrica de crescimento de biomassa:
(unidade ). - taxa volumétrica de consumo de substrato (módulo): pela definição de rendimento,
Ou seja, para cada grama de biomassa formada consome-se gramas de substrato.
- taxa volumétrica de crescimento de biomassa:
-
Relação geral entre variação de
e quando é constante: Isso significa que, independente da forma de, se é constante então o aumento de está ligado linearmente ao consumo de : Vou usar essa relação para eliminarnas integrais.
Passo 3
Parte (a): balanço e integral para o reator pistonado (PFR). Montagem da equação a integrar.
- Para um PFR em regime estacionário a equação da conservação do substrato é
Reescrevendo em forma para integrar: - Substituindo
e , obtemos - O volume total exigido para baixar
de até é Para facilitar a integral, defino de modo que . Então o integrando fica
Passo 4
Cálculo da integral por frações parciais (a parte algébrica).
- Queremos integrar
Fazemos decomposição do tipo Multiplicando por : Comparando termos constantes e de obtemos:
- Assim
(Observe o sinal negativo porque .)
Passo 5
Aplicando os limites e simplificando a expressão final para
.
- Aplicando de
até e lembrando , e , obtemos Esta expressão é conveniente porque usa quantidades iniciais conhecidas e .
Passo 6
Cálculo numérico para (a) — substituição dos valores e conversões de unidades.
-
Primeiro calculemos valores intermediários:
-
. - Conversão
-
-
-
-
-
-
-
- Vazão em
:
-
-
Agora calcule o colchete:Numéricamente:
-
Finalmente:Calculemos:
- Convertendo para
:
Passo 7
Parte (b): CSTR com alimentação estéril — modelagem e solução (explicando a lógica).
- Para um CSTR em regime estacionário, as balanços são:
- Biomassa:
Como a alimentação é estéril e para obtemos onde é a taxa de diluição. - Substrato:
Usando e reorganizando, obtemos a mesma relação que antes:
- Biomassa:
- Para atingir uma determinada concentração de saída
(aqui para 95% de conversão), a condição do CSTR requer E como , temos
Passo 8
Cálculo numérico para (b).
- Calcule
com : - Então
Em :
Resposta
PFR (reator pistonado):
CSTR (alimentação estéril):