Considere a fermentação de um microrganismo em um biorreator pistonado. O substrato (S) é o nutriente que limita o crescimento do microrganismo. Verificou-se, em experimentos anteriores, que o coeficiente de rendimento é constante ao longo do processo ( \mathrm{Y}_{\mathrm{x} / \mathrm{s}}=0,709 ). Dado: \mu_{\max }=3,16 \mathrm{~h}^{-1}, \mathrm{C}_{\mathrm{x} 0}=3,2 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, \mathrm{C}_{\mathrm{s} 0}=45 \mathrm{g} / \mathrm{L}, \mathrm{K}_{\mathrm{s}}=3,26 \mathrm{~g} / \mathrm{L} e \mathrm{F}=20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}.
a) (0.4 pontos) Determine o volume do reator necessário para atingir uma conversão de 95 \% do substrato limitante.
b) ( 0,3 pontos) Qual seria o volume do reator caso fosse usado um CSTR? Considere a alimentação estéril.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dado.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar o volume do reator pistonado (PFR) necessário para atingir uma conversão de 95\% do substrato limitante.
    • (b) Determinar o volume do reator CSTR (alimentação estéril) que atinge a mesma conversão.
  • Dados fornecidos (vou usar exatamente como dados do enunciado):
    • coeficiente de rendimento: \displaystyle Y_{x/s}=0{,}709,
    • taxa máxima específica: \displaystyle \mu_{\max}=3{,}16\\ \mathrm{h}^{-1},
    • concentração de biomassa na alimentação: \displaystyle C_{x0}=3{,}2\\ \mathrm{g/L},
    • concentração de substrato na alimentação: \displaystyle C_{s0}=45\\ \mathrm{g/L},
    • constante de Monod: \displaystyle K_s=3{,}26\\ \mathrm{g/L},
    • vazão volumétrica: \displaystyle F=20\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Observações importantes (para resolver corretamente):
    • Conversão 95\% significa que a concentração de saída de substrato é \displaystyle S_\text{out}=S_0(1-0{,}95)=0{,}05S_0.
    • Vou trabalhar com volumes em litros durante as contas (1 \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}), porque as concentrações estão em \mathrm{g/L}. Então \displaystyle F=20\\ \mathrm{m^3/h}=20000\\ \mathrm{L/h}.
    • Para a parte (b) o enunciado pede explicitamente considerar alimentação estéril (ou seja, \displaystyle X_\text{in}=0). Para a parte (a) o enunciado deu \displaystyle C_{x0}=3{,}2\\ \mathrm{g/L} — vou usar esse valor como concentração de biomassa na alimentação do PFR.

Passo 2

Modelagem cinética e relações fundamentais (explicando cada conceito).
  • Monod: a velocidade específica de crescimento depende do substrato S pela lei de Monod
    \mu(S)=\mu_{\max}\frac{S}{K_s+S},
    onde \mu(S) é a taxa de crescimento específica (unidade \mathrm{h}^{-1}), \mu_{\max} é o máximo e K_s é a constante de semissaturação (mesma unidade de S).
  • Velocidades volumétricas de reação:
    • taxa volumétrica de crescimento de biomassa: \displaystyle r_X=\mu(S)X (unidade \mathrm{g\;X/(L\cdot h)}).
    • taxa volumétrica de consumo de substrato (módulo): pela definição de rendimento, r_S=-\frac{1}{Y_{x/s}}\,r_X=-\frac{1}{Y_{x/s}}\,\mu(S)\,X.Ou seja, para cada grama de biomassa formada consome-se 1/Y_{x/s} gramas de substrato.
  • Relação geral entre variação de X e S quando Y_{x/s} é constante:
    \frac{dX}{dS}=\frac{dX/dV}{dS/dV}=\frac{\mu(S)X/F}{-\frac{1}{Y}\mu(S)X/F}=-Y_{x/s}.
    Isso significa que, independente da forma de \mu(S), se Y é constante então o aumento de X está ligado linearmente ao consumo de S:
    X = X_\text{in} + Y_{x/s}\,(S_\text{in}-S).
    Vou usar essa relação para eliminar X nas integrais.

Passo 3

Parte (a): balanço e integral para o reator pistonado (PFR). Montagem da equação a integrar.
  • Para um PFR em regime estacionário a equação da conservação do substrato é \frac{dS}{dV} = \frac{r_S}{F} = -\frac{1}{F}\frac{1}{Y_{x/s}}\mu(S)X.Reescrevendo em forma para integrar: dV = - F\,Y_{x/s}\,\frac{dS}{\mu(S)X(S)}.
  • Substituindo \mu(S)=\mu_{\max}\dfrac{S}{K_s+S} e X(S)=C_{x0}+Y_{x/s}(S_0-S), obtemos dV = -\frac{F\,Y_{x/s}}{\mu_{\max}}\,\frac{K_s+S}{S\,X(S)}\,dS.
  • O volume total exigido para baixar S de S_0 até S_\text{out} é V=\frac{F\,Y_{x/s}}{\mu_{\max}}\int_{S_\text{out}}^{S_0}\frac{K_s+S}{S\,[C_{x0}+Y_{x/s}(S_0-S)]}\,dS.Para facilitar a integral, defino A \equiv C_{x0}+Y_{x/s}S_0 \quad\text{(constante)},de modo que X(S)=A-Y_{x/s}S. Então o integrando fica \frac{K_s+S}{S(A-YS)} \quad\text{com }Y\equiv Y_{x/s}.

Passo 4

Cálculo da integral por frações parciais (a parte algébrica).
  • Queremos integrar I=\int \frac{K_s+S}{S(A-YS)}\,dS.Fazemos decomposição do tipo \frac{K_s+S}{S(A-YS)}=\frac{\alpha}{S}+\frac{\beta}{A-YS}.Multiplicando por S(A-YS): K_s+S=\alpha(A-YS)+\beta S.Comparando termos constantes e de S obtemos: \alpha A = K_s \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{K_s}{A},
1 = \beta - \alpha Y \quad\Rightarrow\quad \beta = 1+\alpha Y = 1+\frac{K_s}{A}Y.
  • Assim I=\int\left(\frac{K_s/A}{S}+\frac{1+K_sY/A}{A-YS}\right)dS =\frac{K_s}{A}\ln S -\frac{1+K_sY/A}{Y}\ln(A-YS) + C.(Observe o sinal negativo porque \int \frac{1}{A-YS}dS = -\frac{1}{Y}\ln(A-YS).)

Passo 5

Aplicando os limites e simplificando a expressão final para V.
  • Aplicando de S_\text{out} até S_0 e lembrando A-YS = X(S), A-YS_0=X_\text{in}=C_{x0} e A-YS_\text{out}=X_\text{out}, obtemos V=\frac{F\,Y}{\mu_{\max}}\left[\frac{K_s}{A}\ln\frac{S_0}{S_\text{out}}-\left(\frac{1}{Y}+\frac{K_s}{A}\right)\ln\frac{C_{x0}}{X_\text{out}}\right].Esta expressão é conveniente porque usa quantidades iniciais conhecidas e X_\text{out}=C_{x0}+Y(S_0-S_\text{out}).

Passo 6

Cálculo numérico para (a) — substituição dos valores e conversões de unidades.
  • Primeiro calculemos valores intermediários:
    • S_0=45\\ \mathrm{g/L}.
    • Conversão 95\%\Rightarrow S_\text{out}=0{,}05S_0=0{,}05\cdot 45=2{,}25\\ \mathrm{g/L}.
    • Y=Y_{x/s}=0{,}709.
    • A=C_{x0}+Y S_0 = 3{,}2 + 0{,}709\cdot 45 = 3{,}2 + 31{,}905 = 35{,}105\\ \mathrm{g/L}.
    • X_\text{out}=A - Y S_\text{out} = 35{,}105 - 0{,}709\cdot 2{,}25 = 35{,}105 - 1{,}59525 = 33{,}50975\\ \mathrm{g/L}.
    • \displaystyle \frac{K_s}{A}=\frac{3{,}26}{35{,}105}\approx 0{,}09285.
    • \displaystyle \ln\frac{S_0}{S_\text{out}}=\ln\frac{45}{2{,}25}=\ln 20\approx 2{,}995732.
    • \displaystyle \ln\frac{C_{x0}}{X_\text{out}}=\ln\frac{3{,}2}{33{,}50975}\approx \ln(0{,}095573)\approx -2{,}347824.
    • \displaystyle \frac{1}{Y}=\frac{1}{0{,}709}\approx 1{,}410017.
    • Vazão em \mathrm{L/h}: \displaystyle F=20\\ \mathrm{m^3/h}=20000\\ \mathrm{L/h}.
  • Agora calcule o colchete:
    B=\frac{K_s}{A}\ln\frac{S_0}{S_\text{out}}-\Big(\frac{1}{Y}+\frac{K_s}{A}\Big)\ln\frac{C_{x0}}{X_\text{out}}
    Numéricamente:
    B\approx 0{,}09285\cdot 2{,}995732 - (1{,}410017+0{,}09285)\cdot(-2{,}347824)\approx 0{,}27807 + 3{,}52810 \approx 3{,}80617.
  • Finalmente:
    V=\frac{F\,Y}{\mu_{\max}}\,B =\frac{20000\cdot 0{,}709}{3{,}16}\cdot 3{,}80617 \\ \mathrm{L}.
    Calculemos:
    \frac{20000\cdot 0{,}709}{3{,}16}\approx 4487{,}342\\ \mathrm{L},
V\approx 4487{,}342\cdot 3{,}80617 \approx 17076\\ \mathrm{L}.
  • Convertendo para \mathrm{m^3}: \displaystyle V\approx 17{,}08\\ \mathrm{m^3}.

Passo 7

Parte (b): CSTR com alimentação estéril — modelagem e solução (explicando a lógica).
  • Para um CSTR em regime estacionário, as balanços são:
    • Biomassa: 0 = F X_\text{in} - F X + V r_X \quad\Rightarrow\quad -F X + V\mu(S)X = 0.Como a alimentação é estéril X_\text{in}=0 e para X\neq 0 obtemos \mu(S)=\frac{F}{V}\equiv D,onde D é a taxa de diluição.
    • Substrato: F S_0 - F S + V r_S = 0 \quad\Rightarrow\quad F(S_0-S)=V\frac{1}{Y}\mu(S)X.Usando \mu(S)=D e reorganizando, obtemos a mesma relação que antes: X=Y(S_0-S).
  • Para atingir uma determinada concentração de saída S (aqui S_\text{out}=2{,}25\\ \mathrm{g/L} para 95% de conversão), a condição do CSTR requer D=\mu(S_\text{out})=\mu_{\max}\frac{S_\text{out}}{K_s+S_\text{out}}.E como D=F/V, temos V=\frac{F}{\mu(S_\text{out})}.

Passo 8

Cálculo numérico para (b).
  • Calcule \mu(S_\text{out}) com S_\text{out}=2{,}25\\ \mathrm{g/L}: \mu(S_\text{out})=\mu_{\max}\frac{S_\text{out}}{K_s+S_\text{out}} =3{,}16\cdot\frac{2{,}25}{3{,}26+2{,}25} =3{,}16\cdot\frac{2{,}25}{5{,}51}\approx 1{,}28947\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Então V=\frac{F}{\mu(S_\text{out})}=\frac{20000\\ \mathrm{L/h}}{1{,}28947\\ \mathrm{h}^{-1}}\approx 15512\\ \mathrm{L}.Em \mathrm{m^3}: \displaystyle V\approx 15{,}51\\ \mathrm{m^3}.

Resposta

PFR (reator pistonado): 17{,}08\\ \mathrm{m^3}
CSTR (alimentação estéril): 15{,}51\\ \mathrm{m^3}

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