Um carboidrato ( S ) se decompõe na presença de uma enzima (E). Os parâmetros de Michaelis-Menten para essa decomposição são: K m=200 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{r}_{\text {max }}=100 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{~min}.
(0,3 pontos) Calcule a variação da concentração de substrato com o tempo em um reator em batelada com \mathrm{C}_{\mathrm{s} 0}=300 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} no tempo igual a 200 s .

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a variação da concentração do substrato S (chamarei de C_s) com o tempo em um reator em batelada, para o tempo t=200 s, dado que a reação segue cinética de Michaelis–Menten. As informações fornecidas são:
K_m = 200\\ \mathrm{g/m^3},\qquad r_{\max}=100\\ \mathrm{g/(m^3\cdot min)},\qquad C_{s0}=300\\ \mathrm{g/m^3},
e o tempo pedido é t=200 s.
Observação importante: a unidade de r_{\max} é por minuto, enquanto o tempo do enunciado está em segundos — vou ajustar isso no próximo passo.

Passo 2

Vou escrever a lei de velocidade de Michaelis–Menten e relacionar com a equação diferencial para um reator em batelada. A velocidade volumétrica de consumo do substrato é
r(C_s)=\frac{r_{\max}\,C_s}{K_m + C_s}.
Em um reator em batelada não há entrada/saída, então a variação da concentração no tempo é dada por
\frac{dC_s}{dt} = -\,r(C_s) = -\frac{r_{\max}\,C_s}{K_m + C_s}.
Aqui eu explico o que cada símbolo significa:
  • C_s(t) é a concentração do substrato no tempo t (em \mathrm{g/m^3});
  • K_m é a constante de Michaelis (em \mathrm{g/m^3}), que representa a concentração na qual a velocidade é metade de r_{\max};
  • r_{\max} é a velocidade máxima (em \mathrm{g/(m^3\cdot min)}).

Passo 3

Faço a conversão do tempo para a mesma unidade de r_{\max}. Temos
t=200\\ \mathrm{s} = \frac{200}{60}\\ \mathrm{min} = \frac{10}{3}\\ \mathrm{min}\approx 3{,}333333\\ \mathrm{min}.

Passo 4

Resolveremos a equação diferencial. É uma equação separável:
\frac{dC_s}{dt} = -\frac{r_{\max}\,C_s}{K_m + C_s}.
Reescrevo para separar variáveis:
\left(\frac{K_m}{C_s} + 1\right)dC_s = -r_{\max}\,dt.
Agora integro ambos os lados entre t=0 (com C_s=C_{s0}) e tempo genérico t (com C_s=C_s(t)):
\int_{C_{s0}}^{C_s}\left(\frac{K_m}{C} + 1\right)dC = -\int_{0}^{t} r_{\max}\,dt.
As integrais são fáceis:
K_m\ln C\Big|_{C_{s0}}^{C_s} + C\Big|_{C_{s0}}^{C_s} = -r_{\max}t.
Portanto obtemos a relação implícita (condição inicial aplicada):
K_m\ln C_s + C_s = K_m\ln C_{s0} + C_{s0} - r_{\max}t.
Esta equação dá C_s em função de t, mas é implícita (não é diretamente isolável em termos elementares).

Passo 5

Transformação para solução explícita usando a função de Lambert W (apresento porque dá uma expressão fechada; depois faço os cálculos numéricos). Defino x = \dfrac{C_s}{K_m}. A equação implícita pode ser manipulada assim:
K_m\ln(K_m x) + K_m x = B,
onde B = K_m\ln C_{s0} + C_{s0} - r_{\max}t. Dividindo por K_m e rearranjando:
\ln x + x = \frac{B}{K_m} - \ln K_m.
Exponenciando ambos os lados:
x e^{x} = \frac{1}{K_m} \exp\!\left(\frac{B}{K_m}\right).
Pela definição da função Lambert W, a solução é
x = W\!\left(\frac{1}{K_m}\exp\!\left(\frac{B}{K_m}\right)\right),
logo
C_s(t) = K_m\,W\!\left(\frac{1}{K_m}\exp\!\left(\frac{B}{K_m}\right)\right).

Passo 6

Faço agora os cálculos numéricos passo a passo com os valores dados.
Calculo B:
B = K_m\ln C_{s0} + C_{s0} - r_{\max}t.
Substituo números (note \ln natural):
\ln C_{s0} = \ln 300 \approx 5{,}7037824746562,
K_m\ln C_{s0} = 200\cdot 5{,}7037824746562 \approx 1140{,}75649493124,
K_m\ln C_{s0} + C_{s0} \approx 1140{,}75649493124 + 300 = 1440{,}75649493124.
Calculo r_{\max}t:
r_{\max}t = 100\cdot\frac{10}{3} = 333{,}33333333333.
Então
B \approx 1440{,}75649493124 - 333{,}33333333333 = 1107{,}42316159791.
Agora B/K_m:
\frac{B}{K_m} \approx \frac{1107{,}42316159791}{200} = 5{,}53711580798955.
Calculo o argumento da função W:
A := \frac{1}{K_m}\exp\!\left(\frac{B}{K_m}\right) = \frac{1}{200}\exp(5{,}53711580798955).
Avalio \exp(5{,}53711580798955) numericamente (aproximação manual controlada):
\exp(5{,}5371158)\approx 253{,}99\\ \text{(aprox.)}
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A\approx \frac{253{,}99}{200}\approx 1{,}26995.
Agora precisamos de W(A). Procuro w tal que w e^w = A. Testes rápidos por tentativa dão
W(A)\approx 0{,}6576\quad(\text{verificação: }0{,}6576 e^{0{,}6576}\approx 1{,}270\approx A).çã
Finalmente
C_s(t) = K_m\,W(A) \approx 200\cdot 0{,}6576 \approx 131{,}52\\ \mathrm{g/m^3}.
Arredondando com precisão razoável para a situação experimental e para o nível da prova, posso reportar C_s(200\\ \mathrm{s})\approx 131{,}5\\ \mathrm{g/m^3}.

Resposta

C_s(200\\ \mathrm{s}) \approx 131{,}5\\ \mathrm{g/m^3}

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