Um carboidrato ( S ) se decompõe na presença de uma enzima (E). Os parâmetros de Michaelis-Menten para essa decomposição são: K m=200 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{r}_{\text {max }}=100 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{~min}. (0,3 pontos) Calcule a variação da concentração de substrato com o tempo em um reator em batelada com \mathrm{C}_{\mathrm{s} 0}=300 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} no tempo igual a 200 s .
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a variação da concentração do substrato S (chamarei de C_s) com o tempo em um reator em batelada, para o tempo t=200 s, dado que a reação segue cinética de Michaelis–Menten. As informações fornecidas são:
e o tempo pedido é t=200 s.
Observação importante: a unidade de r_{\max} é por minuto, enquanto o tempo do enunciado está em segundos — vou ajustar isso no próximo passo.
Passo 2
Vou escrever a lei de velocidade de Michaelis–Menten e relacionar com a equação diferencial para um reator em batelada. A velocidade volumétrica de consumo do substrato é
r(C_s)=\frac{r_{\max}\,C_s}{K_m + C_s}.
Em um reator em batelada não há entrada/saída, então a variação da concentração no tempo é dada por
Esta equação dá C_s em função de t, mas é implícita (não é diretamente isolável em termos elementares).
Passo 5
Transformação para solução explícita usando a função de Lambert W (apresento porque dá uma expressão fechada; depois faço os cálculos numéricos). Defino x = \dfrac{C_s}{K_m}. A equação implícita pode ser manipulada assim:
K_m\ln(K_m x) + K_m x = B,
onde B = K_m\ln C_{s0} + C_{s0} - r_{\max}t. Dividindo por K_m e rearranjando:
\ln x + x = \frac{B}{K_m} - \ln K_m.
Exponenciando ambos os lados:
x e^{x} = \frac{1}{K_m} \exp\!\left(\frac{B}{K_m}\right).
Pela definição da função Lambert W, a solução é
x = W\!\left(\frac{1}{K_m}\exp\!\left(\frac{B}{K_m}\right)\right),
Arredondando com precisão razoável para a situação experimental e para o nível da prova, posso reportar C_s(200\\ \mathrm{s})\approx 131{,}5\\ \mathrm{g/m^3}.